Chuletas y apuntes de Matemáticas

Càlcul de l'Àrea del Trapezi per Descomposició

El següent exemple il·lustra un trapezi amb una altura de 10 cm i costats paral·lels de 12 cm i 6 cm de longitud. Aquest trapezi ha estat descomposat en dues figures: dos triangles rectangles i un rectangle, totes amb la mateixa alçada de 10 cm. A continuació, s'explica com ensenyar als alumnes a calcular l'àrea del trapezi utilitzant aquesta composició de figures, aprofitant el procés per realitzar el càlcul.

Importància de la Descomposició de Figures

L'àrea del rectangle serveix com a referència fonamental, ja que a partir d'aquesta es poden obtenir les superfícies de la resta de polígons mitjançant la descomposició o recomposició. Així, és possible calcular la superfície...

PROGRESIÓN 3 – Ejemplos resueltos

1. Función lineal vs. no lineal

Pregunta: Clasifica las siguientes funciones como lineales o no lineales y explica por qué:

• a) f(x) = 5x - 7
• b) f(x) = x² + 3x
• c) f(x) = 2^x

Resolución:

• a) Es lineal porque está en la forma f(x) = mx + b (m=5, b=-7). Su gráfica es una recta.
• b) Es no lineal (cuadrática). Tiene x², por lo que su gráfica es una parábola.
• c) Es no lineal (exponencial). La variable está en el exponente.

2. Conjetura de Collatz

Pregunta: Aplica la conjetura de Collatz al número 13 hasta llegar a 1. Escribe la secuencia completa.

Resolución paso a paso:

• 13 (impar) → 3(13)+1 = 40
• 40 (par) → 40/2 = 20
• 20 (par) → 20/2 = 10
• 10 (par) → 10/2 = 5
• 5 (impar) → 3(5)+1 = 16
• 16 (par) → 8 → 4 → 2

1. Estudi de la Continuïtat de la Funció

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x-1} & \text{si } x < 2 \\ x^2 + b & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

a) Quin és el domini de la funció?

El domini de la funció és el conjunt de tots els nombres reals excepte aquells que fan el denominador zero en la primera branca. Això passa quan $x-1=0$, és a dir, $x=1$.

• Dom $f(x) = \mathbb{R} – \{1\}$

b) Quin valor ha de tenir "b" per tal que la funció sigui contínua en $x=2$?

Perquè $f(x)$ sigui contínua en $x=2$, s'ha de complir que els límits laterals i el valor de la funció en aquest punt coincideixin:

$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2)$$

• Límit per l'esquerra ($x<2$): $$\lim_{x\

Recopilación de Exámenes de Matemáticas (2002-2006)

Septiembre 2006

• 1. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x + 2y - z = 1; x + y - 1 = 1; x - z = 1.
• 2. Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1.
• 3. Dada la función en el intervalo 0 < x < 2, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es constante esta función f(x)? f(x) = (sen x + sen(x + 1)) / (cos x - cos(x + 1)).
• 4. Enuncia la Regla de Barrow. Representa la gráfica de la función f(x) = ∫ t dt.

Junio 2006

• 1. Calcula: lim (1 + x - e^x) / sen² x.
• 2. Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = x⁴, su recta tangente en el punto (1, 1) y el eje OY. Calcula su área.
• 3. Determina la relación

Teorema de Tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos que determinan son proporcionales.

En un triángulo, si trazamos una recta paralela a uno de sus lados, se forma otro triángulo semejante cuyos lados son proporcionales.

Este teorema también permite dividir un segmento en partes iguales.

Aplicación del Teorema de Tales

Si queremos dividir un segmento AB en 5 partes:

• 1. Trazaremos una semirrecta auxiliar r.
• 2. Partiendo de A, mediante el compás, trazaremos 5 partes iguales sobre la semirrecta auxiliar.
• 3. Uniremos el extremo de las 5 divisiones (C) con el punto B.
• 4. Trazaremos paralelas por los puntos de división de la recta auxiliar al segmento CB y habremos dividido AB en 5 partes iguales.

Criterios de Semejanza

Variables Estadísticas Bidimensionales

Una variable estadística bidimensional es el conjunto de pares de valores de dos caracteres o variables estadísticas unidimensionales X e Y sobre una misma población. Las tablas estadísticas bidimensionales simples adoptan la siguiente forma:

• Variable X | Variable Y | Frecuencia absoluta
• x₁ | y₁ | f₁
• x₂ | y₂ | f₂
• xᵢ | yᵢ | fᵢ
• xₙ | yₘ | fₙ

Donde Σ fᵢ = N. Un diagrama de dispersión, gráfica de dispersión o gráfico de dispersión es un tipo de diagrama matemático que utiliza las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos.

Distribuciones de Probabilidad Continua

Una distribución de probabilidad se llama continua si su función de

Distribución Muestral

Son distribuciones de probabilidad de un estadístico muestral con valores de medida en:

• a) Media muestral
• b) Proporción de la muestra
• c) Desviación estándar de la muestra

Conceptos Fundamentales

Muestra aleatoria

Es una muestra obtenida de una población que tiene la misma probabilidad de extracción para garantizar la inferencia estadística.

Inferencia estadística

Es el procedimiento estadístico que nos permite llegar a conclusiones válidas a partir de los resultados obtenidos de una muestra.

Tipos de Muestreo Probabilístico

• a) Muestreo aleatorio simple
• b) Muestreo estratificado
• c) Muestreo por conglomerados
• d) Muestreo sistemático

Características del muestreo aleatorio simple

Es el muestreo que proporciona las mismas oportunidades...

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Es una correspondencia entre dos conjuntos $I$ y $J$ de los números reales, de modo que cada elemento de $I$ se corresponde con un único elemento de $J$. Denotaremos la función como $f: I \to J$. Al conjunto $I$ lo denominaremos el dominio y a $J$ el codominio.

Clasificación de Funciones

Inyectividad (Uno a Uno)

Sea $f: I \to J$ una función. Decimos que es inyectiva si para cada par $x_1, x_2$ pertenecientes a $I$ con $x_1 \neq x_2$, se cumple que $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Sobreyectividad (Exhaustiva)

Una función $f$ es sobreyectiva si el codominio de $f$ es igual a la imagen de $f$ ($Codominio(f) = Imagen(f)$).

Biyectividad (Función Invertible)

Una función es biyectiva si es inyectiva...

Geometría Analítica

Parábola

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija l, llamada directriz, y un punto fijo f, llamado foco.

• Vértice: Punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría. Es el punto medio del segmento cuyos extremos son el foco y la intersección del eje de simetría con la directriz.
• Eje de simetría o focal: Recta con respecto a la cual una de las ramas de la parábola es el simétrico de la otra.
• Lado recto: Segmento con extremos en la parábola que pasa por el foco.

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos f1 y f2, llamados focos, es constante. Si el punto p pertenece a la elipse, su valor es...