Teorema de Tales y Pitágoras: Conceptos Fundamentales de Geometría
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Teorema de Tales
Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos que determinan son proporcionales.
En un triángulo, si trazamos una recta paralela a uno de sus lados, se forma otro triángulo semejante cuyos lados son proporcionales.
Este teorema también permite dividir un segmento en partes iguales.
Aplicación del Teorema de Tales
Si queremos dividir un segmento AB en 5 partes:
- 1. Trazaremos una semirrecta auxiliar r.
- 2. Partiendo de A, mediante el compás, trazaremos 5 partes iguales sobre la semirrecta auxiliar.
- 3. Uniremos el extremo de las 5 divisiones (C) con el punto B.
- 4. Trazaremos paralelas por los puntos de división de la recta auxiliar al segmento CB y habremos dividido AB en 5 partes iguales.
Criterios de Semejanza de los Triángulos
Para comprobar si dos triángulos son semejantes, basta con que se cumpla alguno de los 3 criterios siguientes:
- Dos triángulos son semejantes si tienen los 3 lados proporcionales.
- Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos iguales.
- Dos triángulos son semejantes si tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual.
En los 3 casos, para demostrar lo que se afirma, basta con superponer el triángulo más pequeño sobre el más grande y aplicar el teorema fundamental del apartado anterior.
Escalas
Se utilizan para representar objetos muy grandes o muy pequeños mediante dibujos semejantes.
La escala es la relación entre una medida en el dibujo y la medida real, y se expresa como dos números (por ejemplo, 1:20000).
1:20000 significa que 1 unidad en el plano equivale a 20000 en la realidad.
- Para pasar del plano a la realidad → se multiplica.
- Para pasar de la realidad al plano → se divide.
Tipos de escala:
- Reducción: primer número menor (ej: 1:20000).
- Ampliación: primer número mayor.
- Natural: 1:1 (mismo tamaño).
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c².
Este teorema puede interpretarse también de forma geométrica, ya que relaciona las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo.
Existen muchas demostraciones, algunas basadas en representaciones gráficas.
Cuando tres números cumplen esta relación se llaman ternas pitagóricas, y permiten comprobar si un triángulo es rectángulo.