Chuletas y apuntes de Matemáticas

Formación de la Ecuación Auxiliar A(s) = 0

Para resolver el caso especial en el arreglo de Routh donde se presenta un renglón de ceros, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Mediante el uso de los coeficientes del renglón que se encuentra justo antes del renglón de ceros.
2. Tome la derivada de la ecuación auxiliar con respecto a s.
3. Reemplace el renglón de ceros con los coeficientes de la derivada obtenida.
4. Continúe con la tabulación de Routh de manera normal.
5. Interprete los resultados de la manera usual.

Limitaciones del Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz solo es válido si la ecuación característica es algebraica y cuenta con coeficientes reales. Si cualquiera de los coeficientes es complejo, o si la ecuación no es algebraica... Continuar leyendo "Estabilidad de Sistemas de Control: Routh-Hurwitz y Diagramas de Bode" »

Raíces Comunes de Polinomios

Teorema 1: Combinación Lineal de Polinomios con Raíces Comunes

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces α es también raíz de la función polinómica s(x), siendo s(x) el polinomio que resulta de sumar f(x) con g(x) previamente multiplicados por números reales m y n cualesquiera.

• Hipótesis (H):
  • f(x) es una función polinómica.
  • g(x) es una función polinómica.
  • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
• Tesis (T): s(α) = 0, siendo s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x) para m, n ∈ ℝ.

Demostración:

Consideramos la expresión de s(x):

s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x)

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

s(α) = m ⋅ f(α) + n ⋅ g(α)

Por hipótesis, sabemos que... Continuar leyendo "Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios" »

Expresiones Algebraicas y Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones algebraicas específicas cuyo resultado puede escribirse directamente, sin necesidad de realizar todo el proceso de multiplicación. Conocer estas fórmulas agiliza los cálculos y la factorización.

Fórmulas Principales:

Cuadrado de un Binomio

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Suma por su Diferencia (o Diferencia de Cuadrados)

(a + b)(a – b) = a² - b²

Binomio con Término Común

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Cubo de un Binomio

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Cuadrado de un Trinomio

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Distribuciones de Probabilidad Discretas

Prueba de Bernoulli

Un experimento o prueba aleatoria es de Bernoulli cuando solo se pueden dar dos posibles resultados: éxito o fracaso (A, ). A∪ = E; A ∩ = ∅.

Variable de Bernoulli

Una variable aleatoria es de Bernoulli si toma los valores 0 o 1: 0 si al realizar el experimento se obtiene fracaso ( = ∅) ; 1 si se obtiene éxito (A). Sea p = P(A). Entonces 1-p = P( = ∅) = q; p+q = 1.

Definición: Sea X una variable aleatoria de Bernoulli. Su función de cuantía se puede expresar por . Diremos que X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p, se representa por X B(p).

Función de cuantía

Sea X B(p). Su función de cuantía o de probabilidad se puede expresar como

Propiedad: Sea... Continuar leyendo "Distribuciones de Probabilidad: Bernoulli, Binomial, Poisson y Normal" »

1. Función Recurrente

Implementación de sucesiones definidas por recurrencia y cálculo de límites:

kill(W);
W[n] := if n=1 then 111 elseif n=2 then 3 elseif n=3 then 13 else W[n-1] + W[n-2] + W[n-3];
W[15];
makelist(W[n], n, 1, 15, 1);

Wi[n] := if n=1 then 111 elseif n=2 then 3 elseif n=3 then 13 else block(k1:111, k2:3, k3:13, for k from 4 thru n do (k4: k1 + k2 + k3, k1: k2, k2: k3, k3: k4), k4);
Wi[15];
makelist(Wi[n], n, 1, 15, 1);
Wi[100000]/Wi[99999], numer;

2. Manipulación de Listas (Quitaunos)

Función recursiva para eliminar elementos unitarios de una lista:

kill(all);
quitaunos(L) := if L[1] = 1 then delete(1, L) else quitaunos(L);
L:[1, 2, 0, 0, 3, 0, 1];
quitaunos(L);

3. Resolución de Sistemas (ALGSYS)

Resolución de sistemas de... Continuar leyendo "Implementación de Algoritmos Matemáticos en Maxima: Ejemplos Prácticos" »

Media:

sumar todos los datos/N

Moda

El que mas se repite

Mediana

Ordenar de menor a mayor el que se queda a la mitad

Variables:

es lo que se decea investigar o llamada como variable de intetres y se define en los siguientes términos: que se investiga? De quien? Donde se hace la investigación? Cuando se hizo la investigación?

Tipos de variables se clasifican en 2:

Variables cualitativas:

es cuando se investiga un atributo o cualidad la respuesta es una palabra.

las variables cualitativas

Nominales: no hay forma de ordenarla

Ordinales: la respuesta se ordena de alguna manera

Variable cuantitativas:

es cuando se investiga una cantidad, la respuesta es representada por un numero.

a su vez las cuantitativas pueden ser:

Continuas

Puede ser cualquier numero,... Continuar leyendo "Frecuencia relativa porcentual" »

Medidas de dispersión: Prueba de estadística para los números pseudoaleatorios

Dado que cualquier variable aleatoria no conforme (normal, exponencial) es obtenida a partir de números uniformes (0,1), el principal énfasis en las pruebas estadísticas debe recaer sobre la generación de números pseudoaleatorios. Cualquier diferencia estadística en la distribución de las variables aleatorias no uniformes se deberá exclusivamente a la utilización de un generador deficiente de números pseudoaleatorios.

Prueba de promedios

La función de densidad de probabilidad es constante en el intervalo (0,1); esta función define la distribución conocida como uniforme.

Prueba de frecuencia

Es una de las pruebas más importantes sobre la aleatoriedad de... Continuar leyendo "Fundamentos de las Pruebas Estadísticas para Números Pseudoaleatorios" »

Definición de Números Racionales

Los números racionales son todos aquellos números x que pueden expresarse como una fracción, en la cual p es un número entero que se denomina numerador y q es un entero distinto de cero que se denomina denominador.

Son números racionales las fracciones y los decimales finitos. También pertenecen a los números racionales los números 8, -5, 56 y 0, cuyo denominador es el 1 (el cual no se escribe). Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene como subconjuntos a los enteros (Z), a los cardinales (N₀) y a los naturales (N).

Números Irracionales y Reales

Los irracionales, en cambio, son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria; por ejemplo: los números decimales infinitos... Continuar leyendo "Dominio de los Números Racionales: Conceptos, Clasificación y Operaciones" »

✅ 1. Función DE VEROSIMILITUD

Teoría: Suponemos que los errores u | X ~ N(0, σ²
I_n). Entonces y | X ~ N(Xβ, σ² I_n).

Densidad conjunta:

f(y | X, β, σ²) = (1 / (2πσ²)^{n/2}) * exp[ -(1 / 2σ²) (y - Xβ)'(y - Xβ) ]

Log-verosimilitud (ignorando constantes):

ln L(β, σ²) ∝ -n/2 ln(σ²) - (1 / 2σ²) (y - Xβ)'(y - Xβ)

✅ 2. ESTIMADORES POR MÁXIMA VEROSIMILITUD

Derivando respecto a β:

∂lnL / ∂β = (1 / σ²) X'(y - Xβ) → igualando a 0 → X'Xβ = X'y → β̂ = (X'X)⁻¹X'y

Derivando respecto a σ²:

∂lnL / ∂σ² = -n/(2σ²) + (1/(2σ⁴))(y - Xβ)'(y - Xβ) = 0

→ σ̂² = [(y - Xβ̂)'(y - Xβ̂)] / n = u'u / n

✅ 3. HESSIANO Y MATRIZ DE INFORMACIÓN

Hessiano:

H(θ) = [[-1/σ² X'X, -1/σ⁴ X'(y - Xβ)], [-1/σ⁴... Continuar leyendo "Modelo de revlis" »

Números Combinatorios

Recordemos que el factorial de un número natural n, que denotaremos n!, es el producto de todos los números naturales menores o iguales a n:

n! = 1 · 2 · 3 · ··· · (n-1) · n

Definimos el número combinatorio C(n,m) (se lee n sobre m) como:

(Por razones técnicas, usaremos la notación C(n,m) cuando lo usemos dentro del texto).

Vamos a ver que este número es, de hecho, un número entero.

Para demostrarlo, necesitamos un cierto resultado sobre la parte entera de un número. Recordemos que la parte entera [x] de un número real x es el mayor número entero menor o igual que x, o sea que x - 1 < [x] ≤ x.

Observación: Sea n un número natural y m < n otro número natural. Entonces la parte... Continuar leyendo "Números Combinatorios: Propiedades y Teoremas Esenciales" »