Chuletas y apuntes de Matemáticas

Fases del Proceso de Investigación

Fase 1. Ruptura

• 1.1 Selección del problema de investigación.
• 1.2 Exploración y búsqueda de información.
• 1.3 Definición del problema.

Fase 2. Construcción

• 2.1 Conceptualización y formulación de hipótesis.
• 2.2 Operacionalización de conceptos.
• 2.3 Diseño metodológico: muestra, técnicas y análisis.

Fase 3. Comprobación

• 3.1 Trabajo de campo: recogida de datos.
• 3.2 Análisis e interpretación de resultados.
• 3.3 Conclusiones.

Práctica y Conceptos Clave

El proceso práctico incluye: problema de investigación, objetivo, hipótesis, variable independiente, variable dependiente, operacionalización, población, muestra, técnica (encuesta, entrevista…), trabajo de campo, análisis de resultados y conclusiones....

Teorema de Aproximación de Weierstrass

El Teorema de aproximación de Weierstrass establece que, sea f una función continua definida en un intervalo [a, b], para todo ε > 0, le corresponde un polinomio P tal que se cumple la aproximación deseada.

De forma general, el error total al aproximar una función proviene de dos fuentes o componentes principales de error:

• Error de truncamiento: Asociado al método de aproximación empleado.
• Error de redondeo: Asociado a la precisión finita del cálculo computacional.

Teorema del Error de Truncamiento

Sea f una función de clase C, definida en un intervalo [a, b] y sean x₀, x₁, . . . , xₙ, N + 1 puntos de interpolación distintos, pertenecientes al intervalo [a, b], de los que se obtiene el polinomio

Derivadas Parciales

Definición de f_y:

f_y = lim_Δy→0 [f(a, b + Δy) - f(a, b)] / Δy

Interpretación geométrica: Representa la pendiente de la recta tangente en el punto (a, b, f(a,b)) a la curva C₂, resultante de la intersección entre la superficie z = f(x,y) y el plano x = a.

Ecuación del Plano Tangente

La fórmula general es: z - z₀ = f_x(P₀) · (x - x₀) + f_y(P₀) · (y - y₀)

1. Reacomodo: Ajustar la función f(x,y) original si es necesario.
2. Cálculo de z₀: Reemplazar x e y en la función original.
3. Derivadas parciales: Calcular f_x y f_y y evaluarlas en el punto P₀.
4. Sustitución: Aplicar los valores en la fórmula del plano.
5. Forma final: Igualar a 0 y despejar.
6. Gráfico: Intersecciones con los ejes (a=b; c=0).

Extremos Relativos

Condición Necesaria (CN)

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Hipótesis:

• $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$.
• $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$.
• $f(a) = f(b)$.

Tesis: Existe al menos un punto $c$ que pertenece al intervalo abierto $(a, b)$ tal que la derivada de $c$ es igual a cero, es decir, $f'(c) = 0$.

Interpretación Gráfica

• Caso 1: Si $M = m = f(a) = f(b)$, la función es constante. La derivada es $f'(x) = k = 0$, lo cual se cumple para todo $x$.
• Caso 2: Si $m \neq M$:

1. $m \neq M$.
2. $m < M$.
3. $f(a) \neq m$ (asumiendo que $m$ y $M$ son el mínimo y máximo absoluto, respectivamente).
4. Si $f(c) = m$, entonces existe un entorno $E(c, \delta)$ tal que $a < c < b$.
5. Para todo $x$ que pertenece a $E(c, \delta)$, se cumple

Configuración del problema de división

Para escribir correctamente el problema, coloca el divisor (el número que divide a otro número) fuera de la barra larga de división. Coloca el dividendo (el número que dividirás entre el divisor) dentro de la barra larga de división. El cociente o tu resultado irá en la parte superior de la barra de división. Recuerda que para que una división corta funcione, tu divisor tendrá que ser menor de 10.

• Por ejemplo: en 847/5, 5 es el divisor, por lo tanto, escríbelo fuera de la barra de división. 847 es el dividendo, por lo tanto, colócalo dentro de la barra de división.
• El cociente debe estar en blanco porque todavía no has empezado la división.

Paso 1: Dividir el primer dígito del dividendo

Divide

Tipos de Gráficos Estadísticos

Gráficos de Barras

Los datos se presentan por medio de rectángulos de igual base sobre el eje X, en tanto que la longitud sobre el eje Y corresponde al valor del dato según escala. El gráfico de barras puede ser simple, cuando se presenta una variable o categoría, o múltiple, cuando compara la distribución de valores de dos variables o categorías de una misma variable. También se pueden usar gráficos de barras superpuestas y de barras proporcionales, en los cuales la altura corresponde al 100% con diferentes colores o texturas.

Histograma y Polígono de Frecuencia

Para datos cuantitativos continuos se utiliza el histograma, donde las categorías están representadas por cuadriláteros.

Gráfico Lineal y

Documento de Revisión: Conceptos Clave en Microeconomía

I. Derivadas y Análisis de Sensibilidad (RMS/q)

Demostración 1: $\frac{\partial RMS}{\partial q_1}$

Partimos de la relación: $D_{RMS} = \frac{d_{RMS}}{dq_1} q_1 + \frac{d_{RMS}}{dq_2} q_2 = -\frac{dq_2}{dq_1} = \frac{f_1}{f_2}$.

Objetivo: Calcular la variación de $\frac{RMS}{q_1}$:

$$\frac{\partial RMS}{\partial q_1} = \frac{\partial rms}{\partial q_1} \frac{dq_1}{dq_1} + \frac{\partial rms}{\partial q_2} \frac{dq_2}{dq_1}$$

Sustituyendo $RMS = \frac{f_1}{f_2}$ y $\frac{dq_2}{dq_1} = -\frac{f_1}{f_2}$:

$$\frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_1} \cdot 1 + \frac{\partial (f_1/f_2)}{\partial q_2} \cdot \left(-\frac{f_1}{f_2}\right)$$

Aplicando la regla del cociente (donde $f_{ij} = \frac{\partial^...

1. Problema de Cinemática: Carrera de Autos (Jairo y Pedro)

La aceleración instantánea ($a$) se define como la segunda derivada de la distancia ($x$) respecto al tiempo ($t$):

$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = a $$

Integrando a ambos lados respecto a $t$, y considerando $a$ como una constante (cte), obtenemos la velocidad instantánea ($v$):

$$ v = \frac{dx}{dt} = at + c $$

Al inicio de la carrera, como ambos corredores parten del reposo, en $t=0$, $v=0$. Por lo tanto, $c=0$.

Integrando nuevamente respecto a $t$, se obtiene la posición:

$$ x = \frac{1}{2} at^2 + c_1 $$

En $t=0$, la posición inicial $x=0$, por lo que $c_1 = 0$. Así, la ecuación general de posición para los corredores es:

$$ X = \frac{1}{2} at^2 \quad \text{o} \quad t = \sqrt{\frac{...

Zer esan nahi du "geometria" hitzak? Non du bere jatorria

Esanahia: "planoko edo espazioko irudien propietateak ikertzen dituen matematika atala".

Emaitza etimologikoa:

• Geo + metron → lurra + neurria

Jatorria: Egiptoarrek asmatu zuten geometria eta Grekoek irakatsi zuten. Egiptoarrek uholdeen ostean lurrak banatu eta zatitu behar izan zituzten; horregatik azalerak kalkulatzeko metodoak asmatu zituzten.

Zer da urrezko zenbakia?

Urrezko zenbakia gutxi gorabehera 1,618... da. Zenbaki irrazionala da eta naturan behin eta berriz agertzen den erlazio bat adierazten du.

Zergatik dira inportanteak Yale tauleta eta Moskuko papiroak?

Yale tauleta

YALE tauleta:

YALE tauleta 1600 K. aurretikoa da. Bere barruan karratu bat margotuta dago, non zenbait triangelu...

Conceptos Fundamentales de Funciones Vectoriales

Manteniendo la notación anterior, llamaremos dominio de f al conjunto de puntos de ℝⁿ que tienen imagen por f, es decir, a C:

Dom(f) = {x ∈ ℝⁿ; ∃f(x)}

Nótese que el dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de sus proyecciones:

Dom(f) = ∩_i=1^p Dom(f_i)

Recorrido de una función

Definición: Llamaremos recorrido de f al conjunto Im(f), es decir, al conjunto de puntos de ℝ^p que tienen antiimagen por la función.

Curvas de nivel

Definición: Dada una función real de n variables g: C → ℝ (C ⊆ ℝⁿ) y un número real k, se denomina curva de nivel k de la función g al conjunto de puntos de C que tienen como imagen k.

Límites en Funciones de Varias Variables

Definición