Ejercicios Resueltos de Matemáticas: Exámenes de Selectividad (2002-2006)

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Escrito el 10 de Mayo de 2026 en español con un tamaño de 5,24 KB

Recopilación de Exámenes de Matemáticas (2002-2006)

1. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x + 2y - z = 1; x + y - 1 = 1; x - z = 1.
2. Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1.
3. Dada la función en el intervalo 0 < x < 2, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es constante esta función f(x)? f(x) = (sen x + sen(x + 1)) / (cos x - cos(x + 1)).
4. Enuncia la Regla de Barrow. Representa la gráfica de la función f(x) = ∫ t dt.

1. Calcula: lim (1 + x - e^x) / sen² x.
2. Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = x⁴, su recta tangente en el punto (1, 1) y el eje OY. Calcula su área.
3. Determina la relación que debe existir entre a y b para que los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (a, b, 0), (a, 0, b) y (0, a, b) estén en un plano.
4. Sea A una matriz cuadrada tal que A² = A + I, donde I es la matriz unidad. Demuestra que la matriz A es invertible.

1. Enunciar el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales x < y se verifica que cos y - cos x = y - x.
2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales: y - x = z; x - z = y; y + z = x.
3. Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente: a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A, B y C. b) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y AC.
4. Calcular una primitiva de la función f(x) = (x + 1)² x^(1/2) que se anule en x = 1.

1. Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible. Interpretarlo geométricamente.
2. Calcular el valor de la siguiente integral (donde ln denota el logaritmo neperiano).
3. Representar gráficamente la función f(x) = x - 2 sen x en el intervalo -π < x < π.
4. Los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y 4 cm, calcular el coseno del ángulo PAC, donde P es el punto medio del lado BC.

1. Definir el concepto de rango de una matriz. Dar un ejemplo de una matriz con 3 filas y 4 columnas que tenga rango 2.
2. Determinar una recta que sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1), que también sea paralela al plano x + 2y + 3z = 0, y que no esté contenida en ninguno de estos planos.
3. Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante (x ≥ 0, y ≥ 0) por la recta y = x y la curva x = y³. Calcular su área.
4. Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima.

1. Definir el concepto de primitiva de una función. ¿Existe alguna primitiva de la función f(x) = x⁻¹ que no tome ningún valor positivo en el intervalo 1 ≤ x ≤ 2?
2. Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 1) y (1, 2, 0). Determinar la distancia del punto (2, 1, 1) a dicho plano.
3. Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.
4. Determinar todas las matrices X tales que AX = XA, donde A = [[1, 1], [1, 1]].

1. Determinar un valor del parámetro a para que las siguientes ecuaciones lineales sean linealmente dependientes: x + y + z = 1; 3x + 2y + z = 1; y + 2z = a.
2. Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta y = x - 2 y la parábola y² = x. Calcular su área.
3. Representar gráficamente la función f(x) = eˣ - ex, determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). ¿Existe algún valor de x en que f(x) sea negativo?
4. Determinar una constante α para que el plano de ecuación αx + y + z = 2 forme un ángulo de π/3 rad con el plano z = 0.

1. Definir el concepto de derivada de una función f(x) en un punto x = a y explicar su relación con el crecimiento de la función.
2. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ay + (a + 1)z = a; ax + z = a; x + az = a.
3. Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas: y = 4 - x², y = x² - 4. Calcular su área.
4. Hallar dos vectores linealmente independientes que sean ortogonales al vector de coordenadas (1, 1, 3).

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