Ejercicios Resueltos de Progresiones Matemáticas: Funciones, Geometría y Fractales

PROGRESIÓN 3 – Ejemplos resueltos

1. Función lineal vs. no lineal

Pregunta: Clasifica las siguientes funciones como lineales o no lineales y explica por qué:

• a) f(x) = 5x - 7
• b) f(x) = x² + 3x
• c) f(x) = 2^x

Resolución:

• a) Es lineal porque está en la forma f(x) = mx + b (m=5, b=-7). Su gráfica es una recta.
• b) Es no lineal (cuadrática). Tiene x², por lo que su gráfica es una parábola.
• c) Es no lineal (exponencial). La variable está en el exponente.

2. Conjetura de Collatz

Pregunta: Aplica la conjetura de Collatz al número 13 hasta llegar a 1. Escribe la secuencia completa.

Resolución paso a paso:

• 13 (impar) → 3(13)+1 = 40
• 40 (par) → 40/2 = 20
• 20 (par) → 20/2 = 10
• 10 (par) → 10/2 = 5
• 5 (impar) → 3(5)+1 = 16
• 16 (par) → 8 → 4 → 2 → 1

Secuencia completa: 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

3. Algoritmo

Pregunta: Escribe un algoritmo (en pasos) para calcular la distancia Manhattan entre dos puntos.

Resolución (algoritmo):

1. Leer las coordenadas del primer punto (x1, y1).
2. Leer las coordenadas del segundo punto (x2, y2).
3. Calcular: dx = |x2 - x1|.
4. Calcular: dy = |y2 - y1|.
5. Sumar: distancia = dx + dy.
6. Mostrar el resultado.

PROGRESIÓN 4 – Ejemplos resueltos

1. Geometría del Taxista (Manhattan)

Pregunta: Encuentra la distancia del taxista entre los puntos A(2, 3) y B(7, 8). ¿Cuál sería la distancia euclidiana (normal)? ¿Cuál es más larga?

Resolución:

• Distancia Manhattan: d = |7-2| + |8-3| = |5| + |5| = 5 + 5 = 10
• Distancia Euclidiana: d = √[(7-2)² + (8-3)²] = √[25 + 25] = √50 ≈ 7.07

Respuesta: La distancia Manhattan (10) es más larga que la euclidiana (≈7.07).

Pregunta extra común: Dibuja o describe cómo se ve un “círculo” de radio 3 en geometría del taxista. → Forma de rombo (diamante) con vértices en (3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3) si está centrado en el origen.

2. Geometría Esférica

Pregunta: Explica por qué en la superficie de la Tierra no existen líneas paralelas. Da un ejemplo.

Resolución: En geometría esférica, las “rectas” son círculos máximos (como el Ecuador o cualquier meridiano). Todos los meridianos se cortan en los polos Norte y Sur. Ejemplo: El meridiano de Greenwich y el meridiano de 90° Oeste son paralelos en un mapa plano, pero en la esfera se cortan en los polos.

Otra pregunta común: ¿Por qué la suma de los ángulos internos de un triángulo esférico es mayor a 180°? → Porque la superficie es curva (positivamente curvada).

PROGRESIÓN 5 – Ejemplos resueltos

1. Fractales – Autosimilitud

Pregunta: ¿Qué es la autosimilitud? Pon un ejemplo de fractal.

Resolución: La autosimilitud significa que una parte del objeto se parece al objeto completo aunque lo amplíes.

Ejemplo: El Triángulo de Sierpinski

• Empiezas con un triángulo equilátero.
• Le quitas el triángulo del centro.
• Repites el proceso en los 3 triángulos restantes infinitamente. Cada pequeño triángulo se ve igual que el triángulo grande.

2. Pregunta de aplicación

Pregunta: Menciona 3 aplicaciones prácticas de los fractales en la vida real.

Respuesta esperada:

• Modelado de la naturaleza (costas, nubes, montañas, árboles).
• Compresión de imágenes (formato JPEG).
• Antenas fractales (más eficientes y pequeñas).
• Modelado de turbulencias, vasos sanguíneos y pulmones.

3. Historia

Pregunta: ¿Quién fue Benoit Mandelbrot y qué aportó a las matemáticas?

Respuesta: Benoit Mandelbrot (1924-2010) fue el matemático que acuñó la palabra “fractal” en 1975 y desarrolló la Geometría Fractal. Mostró que muchos fenómenos “irregulares” de la naturaleza tienen estructura fractal y son útiles (no solo “monstruos matemáticos”).