Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Los Números: Conceptos Básicos y Operaciones

Los números sirven para comparar (cardinalidad), ordenar (ordinalidad) y realizar mediciones. En educación infantil, se realizan actividades prenuméricas. Se trabaja con números de una cifra, su composición y descomposición mediante regletas. Los cinco primeros números se empiezan a conceptualizar a los 2 años, pero no se razonará con ellos hasta los 7 años aproximadamente.

Niveles de la Cadena Numérica

• Nivel cuerda: Sucesión de términos que empiezan en 1, no estando los términos bien diferenciados.
• Nivel cuerda irrompible: Sucesión de términos que se produce empezando en el 1, sin embargo, están bien diferenciados.
• Nivel cadena numerable: Sucesión que consiste en contar n términos

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Tma de Fubinni: Si f(x,y,) es continua en R=[a,b]x[c,d] entonces _R f(x,y)dxdy= _a^b _c^d f(x,y)dydx= _c^d _a^b f(x,y)dxdy
Regiones de integración
Tipo 1: Si x € [a,b] y f(x) _a^b[ _f(x)^g(x) F(x,y)dy]dx
Tipo 2: Si x € [c,d] y f(y) _c^d[ _f(y)^g(y) F(x,y)dx]dy
Tipo 3: Tipo 1 y 2 a la vez Tipo 1: Si x€[-r,r] y - Paso de coordenadas cartesianas a:
<>Coordenadas cilíndricas o polares:
x=rcos r>0 x=rcos r>0
y=rsin 0< <2 y=rsin 0< <2
z=z z€ 2 variables: Jacobiano:r _prd dr
3 variables: Jacobiano:r _cr ddrdz
Coordenadas esféricas: Jacobiano: r^2sin
x=rcos sin r>0 _Er^2sin drd d
y=rsin cos 0 <2
z=rcos 0< <
Longitud de una curva:... Continuar leyendo "Chuleta de teoremas matemáticos" »

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

Una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X uno y solo un elemento de un conjunto Y. Es una relación especial entre los elementos de dos conjuntos.

Elementos de una Función

• Dominio: En una función f: A -> B, el dominio corresponde al primer conjunto (A).
• Codominio: Es el nombre que se le da al segundo conjunto (B), que contiene los valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio.
• Imagen de una Función: La asociación a través de la función (f) de los conjuntos A y B, o de A hacia B (f: A -> B), conlleva a la asociación de cada uno de los elementos del conjunto A a un único elemento del conjunto B.

Características de una

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Técnicas de Recuperación

• Coincidencia exacta (exact matching): En un sistema booleano, solo se recupera un documento si coincide exactamente con la pregunta.
• Coincidencia parcial (partial matching): Se recupera el documento siempre que se parezca en algo a la pregunta realizada. Se muestran los resultados en orden de relevancia, como en los sistemas vectoriales o probabilísticos.

Ejemplos de Evaluación

Ejemplo de Partial Matching

Método del promedio de precisión en intervalos fijos de exhaustividad (Salton y McGill):

• Se genera un ranking de documentos ordenados, donde los más relevantes están al principio.
• Se calcula un par (P, E), precisión y exhaustividad, por cada documento del ranking.
• La solución es la interpolación.
• Se comienza por

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CALCULO DE FUNCIONES DE VALOR VECTORIALEN UNA VARIABLE REAL
Definicion: Si S es un subconjunto no vacio de los reales, entonces la funcion f : S?Rⁿ se llama una funcion de valor vectorial de una variable real.
TEOREMA 2
Si f es una funcion de valor vectorial de una variable real, cuya derivada f ^'(t) existe para todo t en un intervalo abierto I, y si la ||f (t)|| es constante para todo t € I , entonces f (t) y f ^'(t) son ortogonales para todo t € I , es decir.
f (t) . f ^'(t) =0 para todo t perteneciente a I
ILUSTRACION
Sea F=(0,1)?R² representada F(t)=(cos 2ð t , sen 2ð t) t € R
||F(t)|| = ? ( cos 2ðt)² + (sen 2ð t)²
=?1 = 1 para todo t € (0,1)
Pero F'(t)=(-2ð sen2ð t, 2ð cos2ð t)
=-2ð (sen2ð t, -cos2ð t)
F(t).F'(t)=(cos2ð... Continuar leyendo "Chuleta" »

Criterio de Hurwicz o del Coeficiente de Optimismo

En este criterio, un tomador de decisiones puede adoptar una actitud intermedia. Dado que no se conocen las probabilidades asociadas a cada estado de la naturaleza, este autor propone utilizar un coeficiente de optimismo, denominado C, y simultáneamente un coeficiente de pesimismo, expresado como (1 - C), donde 0 ≤ C ≤ 1.

El coeficiente C indica la postura del decisor frente al riesgo: cuanto más cercano esté a 1, más optimista será el decisor; mientras que cuanto más cercano esté a 0, más pesimista será.

Este criterio se enfoca únicamente en los resultados extremos de cada alternativa, ponderando el resultado de valor máximo con el coeficiente de optimismo (C) y el resultado de... Continuar leyendo "Criterios de Decisión bajo Incertidumbre: Hurwicz, Minimax, Laplace y Valor Esperado" »

Matemáticas: Conceptos Fundamentales

Álgebra Lineal: Matrices y Sistemas de Ecuaciones

• Matriz Inversa: A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A)
• Sistema de Ecuaciones Lineales: A·X = B
• Teorema de Rouché-Frobenius (Clasificación de Sistemas):
  • Si Rango(A) = Rango(A*) = n (número de incógnitas): Sistema Compatible Determinado (SCD).
  • Si Rango(A) = Rango(A*) < n: Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
  • Si Rango(A) ≠ Rango(A*): Sistema Incompatible (SI).
• Regla de Cramer: Xᵢ = det(Aᵢ) / det(A) (donde Aᵢ es la matriz A con la columna i-ésima reemplazada por el vector de términos independientes B).

Geometría Espacial: Rectas, Planos y Distancias

Ecuaciones de la Recta:

• Ecuación Vectorial: x = x₀ + t·v
• Ecuación Paramétrica: x = Pₓ + t·vₓ, y = Pᵧ

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Métodos de Optimización Numérica

Método del Gradiente Descendente

Proporciona una buena dirección de descenso inicial, pero puede presentar baja convergencia cerca del óptimo. Su velocidad de convergencia es típicamente lineal (considerada lenta).

Método de Newton

Ofrece buena convergencia cerca de la solución, pero no garantiza la orientación hacia un mínimo (puede converger a máximos o puntos silla si no se toman precauciones). Su velocidad de convergencia es cuadrática (considerada rápida) bajo ciertas condiciones.

Conceptos Clave en Optimización

Moverse en la dirección del descenso dada por el negativo del gradiente (-∇f) es la mejor opción localmente (marginalmente), pero esto no determina la rapidez global de convergencia,... Continuar leyendo "Conceptos y Métodos Fundamentales de Optimización Matemática" »

f (p + ?p) - f (p) 100%
= f (p)
?p 100%
p

= P f (p + ?p) - f (p)
f (p) ?p

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