Integrales
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Cálculo de primitivas : Integrales inmediatas (x=f(x),dx=f´(x)dx) : ?[f(x)+g(x)].dx=?f(x) +?g(x)+C; ?k.dx=kx+C; ?dx=x+K; ?xn.dx=(xn+1)/n+1+C; ?1/x.dx=ln[x]+C; ?1/2?x.dx=?x+C ; ?ex.dx=ex+C; ?ax.dx=ax/ln a+C; ?senx.dx=-cosx+C; ?cosx.dx=senx+C; ?sec^2 x.dx =?dx/cos2x=?(1+tg2x).dx=tgx+C; ?cosec^2 x.dx =?dx/sen2x=?(1+cotg2x).dx=-cotgx+C; ?1/(1+x2) .dx=arc tgx+C; ?1/(?1-x2).dx=arcsenx+C; ?-1/(?1-x2).dx=arc cosx+C; ?tgf(x)f´(x).dx=-ln[cosf(x)]+C; ?lnf(x)f´(x).dx=xln[f(x)]-f(x)+C Hiperbólicas:?senhx.dx=coshx+C; ?coshx.dx=senhx+C; ?sech^2x.dx =?dx/cosh2x=?(1+tg h2x).dx=tghx+C; ?cosech^2 x.dx =?dx/senh2x=?(1+cotg2x).dx=cotgx+C; ?1/(?x2+1).dx=arcsenhx+C; ?-1/(?x2-1).dx=arccoshx+C; ?1/(1- x2).dx=arctghx+C
Métodos de integración: Integración por partes:?u.dv=u.v-?v.du
?xn.sen/cosax.dx(u=xn;dv=sen/cosax),?xn.eaxdx(u=xn;dv=eax);?xn.lnx.dx(=lnx;=xn);?ekx.sen/cosax.dx(=sen/cosx;=ekx);?xn.arctg/arcsenx.dx(=arctg/arcsenx;=xn)
Cambio de variable: ?(6?x/(?x +3?x) .dx =?x1/6/(x1/2+x1/3).dx(x=tm.c.m(6,3,2)=6,dx=6t5dt); ??(x-1)/ ( (?x -1)+2).dx(x-1=t; dx=4t3dt); ?( ex-3ex)/(1+ex).dx(ex=t;x=lnt;dx=1/t.dt); ?( 5/(3x+2)).dx(3x=t;x=ln3t;dx=1/tln3.dt); ?(?x2-a2).dx(x=acosht;dx=asenhtdt); ?(?x2+ a2).dx (x=acost;dx=asentdt); ?(? a2- x2).dx (x=asent;dx=a c ostdt); ?(?a2+ x2).dx (x=asen h t;dx=a c os h tdt) Identidades trigonométricas: 1º sen2x+cos2x=1 2º sen2a=1/2(1-cos2a) 3º c os2a =1/2(1+cos2a); 1+tan2x = sec2x ; 1+cot2x=csc2x ; tanx=senx/cosx ; cscx=1/senx ; secx=1/cosx ; cotx=1/ tanx=cosx/senx ; 1+cotg²a=cosec²a ; sin(a+b)=sinacosb+cosasinb ; cos(a+b)=cosacosb-sinasinb ; sin(a-b)=sinacosb-cosasinb ; cos(a-b)=cosacosb+sinasinb ; sin2a=2sinacosa ; cos2a=cos²a-sin²a ; tg2a= 2tga/1-tg²a ; sin(a/2)=±a(1-cosa)/(2) = (? 2/2 )? 1-cosa ; cos(a/2)=±a(1+cosa)/(2) = (? 2/2)? 1+cosa ; tg(a/2)=±a(1-cosa)/(1+cosa) =? ((1-cosa)/(1+cosa)) ; 4º sinA+sinB=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2 ; 5º sinA-sinB=2cos (A+B)/2sin(A-B)/2 ; 6º cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2 ; 7º cosA-cosB=-2sin(A+B)/2sin(A-B)/2 , 2senacosb=sen(a+b)+sen(a+b), 2cosxcosy=cos(a+b)+cos(a+b); 2senasenb=-cos(a+b)+cos(a+b) Identidades hiperbólicas: senhx=(ex-e-x)/2; coshx=(ex+e-x)/2; cosh2x-senh2x=1; cosh(2x)=senh2x+cosh2x; senh(2x)=2senhxcoshx
Integrales racionales: Raices diferentes: ?( A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c) +... ), Solución:ln; Raices iguales múltiples(dobles,triples): ?( A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...), Solución:ln y potencias de exponente negativo; Raices complejas conjugadas: ?( Mx+N)/((x- )2+ 2), Solución:ln y arctg
Integrales trigonométricas: ?( senmpxcosnpx)dx (myn:impares, fórmula:1º),(myn:par, fórmula:2ºy3º) ,(myn:par e impar o al revés, fórmula: 1º,2º,3º) ; ? senmpxdx (m:impar, fórmula:1º),(m:par, fórmula:2º); ? cosnpxdx ( n :impar, fórmula:1º), (n:par, fórmula:3º) ; ?( senpxcos q x)dx (fórmula:4º);?( cos pxcos q x)dx (fórmula:6º);?( senpx senq x)dx (fórmula:7º)
Recordatorio derivadas:Método del arbolito(regla de la cadena): f(x,y,z),x=s+t,y=s,z=t-s; df/t=d(f/x)d(x/t)+d(f/y)d(y/t)+d(f/z)d(z/t); d(f/s)=d(f/x)d(x/s)+d(f/y)d(y/s)+d(f/z)d(z/s)
Integrales definidas: Propiedades: ?ab f(x).dx=-?ba f(x).dx; Si C e (a,b): ?ab f(x).dx=?ac f(x).dx+?cb f(x).dx; Teorema valor medio: ?ab (fx).dx= f(c).(b-a) Si C e(a,b); Regla de Barrow: ?ab f(x).dx=F(b)-F(a) Ejemplo: ?-11 x3.dx=x4/4/-11=14/4-(-1)4/4 ; Area de funciones encima eje x : ?ab f(x).dx , debajo eje x : ?ab -f(x).dx , ambas:?ab f(x).dx+?ab - f(x).dx o ?ab - f(x).dx+?ab f(x).dx Area de 2 funciones: f(x) arriba g(x) abajo ?ab [ f(x) -g(x)] dx ; f(x) y g(x) arriba y abajo ?ac [ f(x) -g(x)] .dx+?cb [g(x)- f(x) ] .dx Volumen:?ab f(x)2.dx
Métodos de integración: Integración por partes:?u.dv=u.v-?v.du
?xn.sen/cosax.dx(u=xn;dv=sen/cosax),?xn.eaxdx(u=xn;dv=eax);?xn.lnx.dx(=lnx;=xn);?ekx.sen/cosax.dx(=sen/cosx;=ekx);?xn.arctg/arcsenx.dx(=arctg/arcsenx;=xn)
Cambio de variable: ?(6?x/(?x +3?x) .dx =?x1/6/(x1/2+x1/3).dx(x=tm.c.m(6,3,2)=6,dx=6t5dt); ??(x-1)/ ( (?x -1)+2).dx(x-1=t; dx=4t3dt); ?( ex-3ex)/(1+ex).dx(ex=t;x=lnt;dx=1/t.dt); ?( 5/(3x+2)).dx(3x=t;x=ln3t;dx=1/tln3.dt); ?(?x2-a2).dx(x=acosht;dx=asenhtdt); ?(?x2+ a2).dx (x=acost;dx=asentdt); ?(? a2- x2).dx (x=asent;dx=a c ostdt); ?(?a2+ x2).dx (x=asen h t;dx=a c os h tdt) Identidades trigonométricas: 1º sen2x+cos2x=1 2º sen2a=1/2(1-cos2a) 3º c os2a =1/2(1+cos2a); 1+tan2x = sec2x ; 1+cot2x=csc2x ; tanx=senx/cosx ; cscx=1/senx ; secx=1/cosx ; cotx=1/ tanx=cosx/senx ; 1+cotg²a=cosec²a ; sin(a+b)=sinacosb+cosasinb ; cos(a+b)=cosacosb-sinasinb ; sin(a-b)=sinacosb-cosasinb ; cos(a-b)=cosacosb+sinasinb ; sin2a=2sinacosa ; cos2a=cos²a-sin²a ; tg2a= 2tga/1-tg²a ; sin(a/2)=±a(1-cosa)/(2) = (? 2/2 )? 1-cosa ; cos(a/2)=±a(1+cosa)/(2) = (? 2/2)? 1+cosa ; tg(a/2)=±a(1-cosa)/(1+cosa) =? ((1-cosa)/(1+cosa)) ; 4º sinA+sinB=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2 ; 5º sinA-sinB=2cos (A+B)/2sin(A-B)/2 ; 6º cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2 ; 7º cosA-cosB=-2sin(A+B)/2sin(A-B)/2 , 2senacosb=sen(a+b)+sen(a+b), 2cosxcosy=cos(a+b)+cos(a+b); 2senasenb=-cos(a+b)+cos(a+b) Identidades hiperbólicas: senhx=(ex-e-x)/2; coshx=(ex+e-x)/2; cosh2x-senh2x=1; cosh(2x)=senh2x+cosh2x; senh(2x)=2senhxcoshx
Integrales racionales: Raices diferentes: ?( A/(x-a)+B/(x-b)+C/(x-c) +... ), Solución:ln; Raices iguales múltiples(dobles,triples): ?( A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...), Solución:ln y potencias de exponente negativo; Raices complejas conjugadas: ?( Mx+N)/((x- )2+ 2), Solución:ln y arctg
Integrales trigonométricas: ?( senmpxcosnpx)dx (myn:impares, fórmula:1º),(myn:par, fórmula:2ºy3º) ,(myn:par e impar o al revés, fórmula: 1º,2º,3º) ; ? senmpxdx (m:impar, fórmula:1º),(m:par, fórmula:2º); ? cosnpxdx ( n :impar, fórmula:1º), (n:par, fórmula:3º) ; ?( senpxcos q x)dx (fórmula:4º);?( cos pxcos q x)dx (fórmula:6º);?( senpx senq x)dx (fórmula:7º)
Recordatorio derivadas:Método del arbolito(regla de la cadena): f(x,y,z),x=s+t,y=s,z=t-s; df/t=d(f/x)d(x/t)+d(f/y)d(y/t)+d(f/z)d(z/t); d(f/s)=d(f/x)d(x/s)+d(f/y)d(y/s)+d(f/z)d(z/s)
Integrales definidas: Propiedades: ?ab f(x).dx=-?ba f(x).dx; Si C e (a,b): ?ab f(x).dx=?ac f(x).dx+?cb f(x).dx; Teorema valor medio: ?ab (fx).dx= f(c).(b-a) Si C e(a,b); Regla de Barrow: ?ab f(x).dx=F(b)-F(a) Ejemplo: ?-11 x3.dx=x4/4/-11=14/4-(-1)4/4 ; Area de funciones encima eje x : ?ab f(x).dx , debajo eje x : ?ab -f(x).dx , ambas:?ab f(x).dx+?ab - f(x).dx o ?ab - f(x).dx+?ab f(x).dx Area de 2 funciones: f(x) arriba g(x) abajo ?ab [ f(x) -g(x)] dx ; f(x) y g(x) arriba y abajo ?ac [ f(x) -g(x)] .dx+?cb [g(x)- f(x) ] .dx Volumen:?ab f(x)2.dx