Matemáticas planos

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Posición relativa de dos rectas: Caso 1) Si vienen dadas por un punto y un vector. Se hace la matriz, La / es la M* * Coincidentes (rango M 1, M*1) * Secantes (rango M2, M*2) * Paralelas (rango M1, M*2) * Se cruzan (rango M 2, M*3).  Caso 2) Si vienen dadas en forma implícita, se crean sus matrices (M/M*), * Coincidentes (rango M 2, M*2) * Secantes (rango M 3, rango M* 3) * Paralelas (rango M 2, M*3) * Se cruzan (rango M 3, M*4).

Posición relativa de recta y plano: Se sacan dos matrices (M y M*) * Secantes (rango M 3, M*3), * Paralelas (rango M 2, M*3) * Recta contenida en el plano (rango M2, M*2)

Posición relativa de dos planos ( ): Se ponen sus matrices M y M*.* Coincidentes (rango M1, M*1) * Se cortan (rango M2, M*2) * Paralelas (rango M 1, M*2)

Posición relativa de tres planos : Se ponen sus matrices (M, M*): * Se cortan en un punto (rango M 3, M*3) * No tienen ningún punto en común (rango M 2,M*3) * No coincidentes se cortan en una recta (rango M 2, M*2) * Los tres planos tienen en común una recta(rango M 2, M*2) * Tres planos paralelos (rango M 1, M*2) * Tres planos coincidentes (rango M 1, M*1)

Distancia de una recta a un plano: d(π, P)= Ax + By + Cz + D /

Distancia entre dos planos ( ): De uno de ellos se saca un punto ( ), y del segundo se halla la distancia con respecto al punto, sustituyendo el punto en la formula del plano 2 y aplicando la formula de la distancia.

Distancia de un punto (P) a una recta (r): Se sustituye el punto P en la recta r y se aplica la formula de la distancia.

Distancia entre dos rectas (r, s): Coger el punto de la primera r y sustituir en la segunda s, después aplicar la formula de la distancia.

Distancia plano ( ) recta r: Se halla en punto P de la recta. d( )= , donde A, B, C, D son los puntos del plano, y x, y, z son los puntos hallados de la recta. Sustituir en la formula.

Ecuación de la recta: Vectorial: (x,y,z) = (x1, y1, z1) + λ (V1,V2,V3) Paramétrica: X= x1 + λ V1,  Y= y1 + λ V2,  Z= z1 + λ V3 Continua: X-x1 / V1 = Y-y1 / V2 = Z –z1 / V3 Implícitas: (X-x1)V2 = (Y-y1)V1(Y-y1)V3= (Z-z1)V2

Ecuación del plano ( ): Vectorial: (x,y,z) = (x0, y0, z0) + λ (V1,V2,V3) + µ (V1,V2, V3) Parametrica: X= x1 + λ V1 + µ V2,  Y= y1 + λ V2 + µ V2,  Z= z1 + λ V3 + µ V3        Implicita:

Ecuación del plano (formado por 3 puntos, A, B, C): El plano existe si el det. ( ) = 0         

Plano (formado por recta, r y punto exterior, B): El plano existe si el det. ( )= 0

Plano (formado por dos rectas secantes): El plano existe si el det. ( ) = 0. * Si rango  ( ) = 2 rango ( , Las rectas son secantes * Si rango  ( ) = 1 y rango  = 2, r y s son paralelas. El plano existe si el det. ( ) = 0

Plano que contiene a una recta, r y es paralelo a otra, s: El plano existe si el det. ( ) = 0. Para ello se hace la matriz del plano y se iguala a 0.

Producto escalar:  = / / x / / x cos α, donde   es x, y, z, la v es x’, y’, z’; / / es ;  

Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales: x/x’= y/y’= z/z’