Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Regresión Lineal: Predicción y Modelado

La regresión lineal tiene como objetivo principal predecir un fenómeno a partir de variables conocidas.

Dispersión y Ajuste

La dispersión permite cuantificar el grado de relación lineal existente entre dos variables. En una situación ideal, todos los puntos se encontrarían sobre una línea recta. La recta de regresión es aquella que hace mínima la suma de cuadrados de las distancias verticales entre cada punto y la recta.

Métricas de Evaluación

• R-cuadrado (R²): Si es 1, la relación es perfecta; si es 0, las variables son independientes.
• R² Corregida: Explica la varianza de la variable dependiente (VD).
• Error típico: Es la desviación típica de los residuos. Cuanto más pequeño sea, mejores

Fundamentos de Estadística: Momentos y Media Aritmética

Momentos: Valores que resumen información de una distribución de frecuencias en relación con algún aspecto o propiedad. La media aritmética y la varianza son casos particulares.

Media aritmética: Es la suma de los datos ponderados por las frecuencias relativas. Es sensible a los errores.

Propiedades de la media aritmética:

• 1. La media de las desviaciones respecto a la media es nula.
• 2. Agrupación.
• 3. Traslación y cambio de escala.

Medidas de Dispersión

Medidas de dispersión: Sintetizan en un único valor la variabilidad de los datos.

3.1 Recorridos y Desviación Media

Recorrido o rango: Es la diferencia entre los valores extremos de la variable. En intervalos de clase, se utiliza el... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Estadística: Medidas Descriptivas, Forma, Concentración y Relaciones Bivariadas" »

Distancia en el Modelo de Correspondencias

• Los perfiles de fila y columna se convierten en las coordenadas que permiten ubicar las categorías de las variables. Según estas posiciones, se calcula la distancia entre ellas.
• Para calcular la distancia, se debe, en primer lugar, calcular el centroide de la nube de puntos generada a partir de la ubicación de las categorías de las variables según las tablas de frecuencias relativas. El centroide puede ser entendido como la media de la nube de puntos.

Inercia en Modelos Estadísticos

• En el análisis de correspondencias, la dispersión de los puntos se denomina inercia.
• La inercia total corresponde a la dispersión del conjunto de puntos con respecto a su centroide.
• Los ejes que constituirán las coordenadas

Teorema de Carnot

Estudia los ciclos reversibles formados por dos isotermas y dos isentrópicas (procesos reversibles y adiabáticos). Los parámetros involucrados son: temperatura del foco frío (T_f), temperatura del foco caliente (T_c), calor absorbido (Q₁), calor cedido (Q₂) y trabajo neto (W).

Ecuaciones fundamentales:

• Para un ciclo completo: ΔU = Q - W = 0, por lo tanto W = Q = Q₁ + Q₂ (considerando Q₂ negativo si es cedido).
• Variación de entropía en el ciclo: ΔS = 0, lo que implica |Q₁|/T_c = |Q₂|/T_f.

Nota: Para evitar confusiones con los signos de Q y W, se pueden usar valores absolutos en las relaciones de calores y temperaturas, y luego asignar el signo según si la energía es aportada o cedida por el sistema.

Dado que hay 5 parámetros... Continuar leyendo "Principios Fundamentales de Termodinámica, Calorimetría y Campo Eléctrico" »

Clasificación de Variables

• Variables discretas: Son aquellas en las que los valores son esencialmente enteros o, si no son necesariamente enteros, su número es finito y cerrado.
• Variables continuas: Son las que describen valores dentro de un intervalo de números reales (ejemplos: edad, notas, peso).

Intervalos y Límites

• Límites reales: Son aquellos intervalos donde el final del primer intervalo no coincide con el comienzo del segundo.
• Límites aparentes: En este caso, el último elemento de cada intervalo siempre se considera al comenzar el segundo intervalo.

Medidas de Frecuencia

• Marca de clase (xi): Es el promedio aritmético entre el límite superior e inferior del intervalo.
• Frecuencia total (n): Corresponde al número total de observaciones.

Números Reales y Proporciones

Los números reales se corresponden con los puntos de una recta, fijados en un origen (0) y una unidad de medida (1). Permiten describir el universo físico y el espacio geométrico. El conjunto de todos los números reales se denota como R.

Z representa el conjunto de todos los números enteros sin decimales. Q es el conjunto de los números racionales, que son el cociente de dos números enteros (m/n, donde n ≠ 0). Los números reales no enteros son los números racionales.

Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica y son números reales pero no racionales (ej: π). Aparecen cuando la raíz cuadrada de un número no es un cuadrado perfecto.

Proporciones

La proporción entre dos números... Continuar leyendo "Exploración de Números Reales, Espacios Vectoriales y Geometría Analítica" »

Modelos Dinámicos y Regresores Estocásticos

1) Simultaneidad

Ramas de la Estadística

• Estadística descriptiva: Permite observar y describir numéricamente una población. Está basada en el método deductivo.
• Cálculo de probabilidades: A partir de la definición de probabilidad, estudia los modelos teóricos de las poblaciones.
• Inferencia estadística: A partir de la observación de una muestra de la población, y utilizando las herramientas proporcionadas por el cálculo de probabilidades, se llega a la inducción de propiedades generales para el total de la población.

Formas de Observación de una Población

• Exhaustivamente: Si se observan todos y cada uno de los elementos de la población. Se conoce como censo. Es un proceso largo y muy laborioso.
• Parcialmente: Si se observa solo una parte de la población.

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Ciencia que se ocupa de la **recogida**, **presentación**, **descripción** y **análisis** de datos, lo que nos ayuda en la **toma de decisiones** en un contexto de **incertidumbre**.

Probabilidad: Parte de la estadística que se ocupa de calcular un número entre el **0** y el **1** que nos informa sobre el **grado de ocurrencia** de un **suceso**.

Inferencia Estadística: Parte de la estadística que, utilizando la información de una **muestra**, nos permite obtener **conclusiones** para toda una **población** con un determinado **grado de fiabilidad**.

Variables Estadísticas

Variable Estadística: Es lo que se desea estudiar. Se suele representar por *X* o *X_i*. Existen diversas clasificaciones:... Continuar leyendo "Glosario Esencial de Terminología Estadística" »

Lógica Proposicional

• Negación: Si la negación nos da verdadera, la proposición es falsa; si la negación es falsa, la proposición es verdadera.
• Conjunción (∧ "y"): Es verdadera solo si ambas son verdaderas.
• Disyunción (∨ "o"): Es falsa solo cuando ambas son falsas.
• Condicional (⇒ "entonces"): Es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad.
• Bicondicional (⇔ "si y solo si"): Es verdadero cuando ambos son falsos o ambos verdaderos.

Clasificación de Proposiciones

• Tautología: Todas verdaderas.
• Contradicción: Todas falsas.
• Contingencia: Puede ser verdadera o falsa.

Leyes Lógicas

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• ¬p ⇒ q ≡ p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨