Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Teorema de Carnot

Estudia los ciclos reversibles formados por dos isotermas y dos isentrópicas (procesos reversibles y adiabáticos). Los parámetros involucrados son: temperatura del foco frío (T_f), temperatura del foco caliente (T_c), calor absorbido (Q₁), calor cedido (Q₂) y trabajo neto (W).

Ecuaciones fundamentales:

• Para un ciclo completo: ΔU = Q - W = 0, por lo tanto W = Q = Q₁ + Q₂ (considerando Q₂ negativo si es cedido).
• Variación de entropía en el ciclo: ΔS = 0, lo que implica |Q₁|/T_c = |Q₂|/T_f.

Nota: Para evitar confusiones con los signos de Q y W, se pueden usar valores absolutos en las relaciones de calores y temperaturas, y luego asignar el signo según si la energía es aportada o cedida por el sistema.

Dado que hay 5 parámetros... Continuar leyendo "Principios Fundamentales de Termodinámica, Calorimetría y Campo Eléctrico" »

Supongamos que las preferencias son no saciables localmente y que las funciones de demanda ordinaria son continuas. Bajo estas condiciones, existe un vector de precios p* de equilibrio competitivo. A continuación, presentamos la prueba formal.

El Proceso de Subasta

Un subastador anuncia un precio p ∈ S^l-1:

• Si z(p) ≤ 0, entonces p es un precio de equilibrio competitivo.
• Si z_j(p) > 0 para algún bien j, el subastador anuncia nuevos precios p' donde, para cada bien j, p'_j = g_j(p), siguiendo la regla:

g_j(p) = (p_j + max{z_j(p), 0}) / (1 + Σ^l_k=1 max{z_k(p), 0})

El denominador es constante para todos los bienes. Si el bien j presenta un exceso de demanda (z_j(p) > 0), su nuevo precio g_j(p) aumenta en proporción a aquellos bienes donde z_k(p) ≤

Clasificación de Variables

• Variables discretas: Son aquellas en las que los valores son esencialmente enteros o, si no son necesariamente enteros, su número es finito y cerrado.
• Variables continuas: Son las que describen valores dentro de un intervalo de números reales (ejemplos: edad, notas, peso).

Intervalos y Límites

• Límites reales: Son aquellos intervalos donde el final del primer intervalo no coincide con el comienzo del segundo.
• Límites aparentes: En este caso, el último elemento de cada intervalo siempre se considera al comenzar el segundo intervalo.

Medidas de Frecuencia

• Marca de clase (xi): Es el promedio aritmético entre el límite superior e inferior del intervalo.
• Frecuencia total (n): Corresponde al número total de observaciones.

Números Reales y Proporciones

Los números reales se corresponden con los puntos de una recta, fijados en un origen (0) y una unidad de medida (1). Permiten describir el universo físico y el espacio geométrico. El conjunto de todos los números reales se denota como R.

Z representa el conjunto de todos los números enteros sin decimales. Q es el conjunto de los números racionales, que son el cociente de dos números enteros (m/n, donde n ≠ 0). Los números reales no enteros son los números racionales.

Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica y son números reales pero no racionales (ej: π). Aparecen cuando la raíz cuadrada de un número no es un cuadrado perfecto.

Proporciones

La proporción entre dos números... Continuar leyendo "Exploración de Números Reales, Espacios Vectoriales y Geometría Analítica" »

Modelos Dinámicos y Regresores Estocásticos

1) Simultaneidad

Ramas de la Estadística

• Estadística descriptiva: Permite observar y describir numéricamente una población. Está basada en el método deductivo.
• Cálculo de probabilidades: A partir de la definición de probabilidad, estudia los modelos teóricos de las poblaciones.
• Inferencia estadística: A partir de la observación de una muestra de la población, y utilizando las herramientas proporcionadas por el cálculo de probabilidades, se llega a la inducción de propiedades generales para el total de la población.

Formas de Observación de una Población

• Exhaustivamente: Si se observan todos y cada uno de los elementos de la población. Se conoce como censo. Es un proceso largo y muy laborioso.
• Parcialmente: Si se observa solo una parte de la población.

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Ciencia que se ocupa de la **recogida**, **presentación**, **descripción** y **análisis** de datos, lo que nos ayuda en la **toma de decisiones** en un contexto de **incertidumbre**.

Probabilidad: Parte de la estadística que se ocupa de calcular un número entre el **0** y el **1** que nos informa sobre el **grado de ocurrencia** de un **suceso**.

Inferencia Estadística: Parte de la estadística que, utilizando la información de una **muestra**, nos permite obtener **conclusiones** para toda una **población** con un determinado **grado de fiabilidad**.

Variables Estadísticas

Variable Estadística: Es lo que se desea estudiar. Se suele representar por *X* o *X_i*. Existen diversas clasificaciones:... Continuar leyendo "Glosario Esencial de Terminología Estadística" »

Lógica Proposicional

• Negación: Si la negación nos da verdadera, la proposición es falsa; si la negación es falsa, la proposición es verdadera.
• Conjunción (∧ "y"): Es verdadera solo si ambas son verdaderas.
• Disyunción (∨ "o"): Es falsa solo cuando ambas son falsas.
• Condicional (⇒ "entonces"): Es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad.
• Bicondicional (⇔ "si y solo si"): Es verdadero cuando ambos son falsos o ambos verdaderos.

Clasificación de Proposiciones

• Tautología: Todas verdaderas.
• Contradicción: Todas falsas.
• Contingencia: Puede ser verdadera o falsa.

Leyes Lógicas

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• ¬p ⇒ q ≡ p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Distribuciones Estadísticas

Definición Axiomática de Probabilidad

Es la más simple de todas las definiciones; está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para definir la probabilidad de un suceso.

Ventaja:

• Permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad.

Axiomas (Causas):

1. La probabilidad de cualquier suceso A es no negativa: P(A) ≥ 0.
2. La probabilidad del espacio muestral (suceso seguro Ω) es 1: P(Ω) = 1.
3. Si A, B, C, ... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales: P(A ∪ B ∪ C ∪ ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...

Consecuencias Importantes:

• La probabilidad del suceso imposible