Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Supongamos que las preferencias son no saciables localmente y que las funciones de demanda ordinaria son continuas. Bajo estas condiciones, existe un vector de precios p* de equilibrio competitivo. A continuación, presentamos la prueba formal.

El Proceso de Subasta

Un subastador anuncia un precio p ∈ S^l-1:

• Si z(p) ≤ 0, entonces p es un precio de equilibrio competitivo.
• Si z_j(p) > 0 para algún bien j, el subastador anuncia nuevos precios p' donde, para cada bien j, p'_j = g_j(p), siguiendo la regla:

g_j(p) = (p_j + max{z_j(p), 0}) / (1 + Σ^l_k=1 max{z_k(p), 0})

El denominador es constante para todos los bienes. Si el bien j presenta un exceso de demanda (z_j(p) > 0), su nuevo precio g_j(p) aumenta en proporción a aquellos bienes donde z_k(p) ≤

Clasificación de Variables

• Variables discretas: Son aquellas en las que los valores son esencialmente enteros o, si no son necesariamente enteros, su número es finito y cerrado.
• Variables continuas: Son las que describen valores dentro de un intervalo de números reales (ejemplos: edad, notas, peso).

Intervalos y Límites

• Límites reales: Son aquellos intervalos donde el final del primer intervalo no coincide con el comienzo del segundo.
• Límites aparentes: En este caso, el último elemento de cada intervalo siempre se considera al comenzar el segundo intervalo.

Medidas de Frecuencia

• Marca de clase (xi): Es el promedio aritmético entre el límite superior e inferior del intervalo.
• Frecuencia total (n): Corresponde al número total de observaciones.

Números Reales y Proporciones

Los números reales se corresponden con los puntos de una recta, fijados en un origen (0) y una unidad de medida (1). Permiten describir el universo físico y el espacio geométrico. El conjunto de todos los números reales se denota como R.

Z representa el conjunto de todos los números enteros sin decimales. Q es el conjunto de los números racionales, que son el cociente de dos números enteros (m/n, donde n ≠ 0). Los números reales no enteros son los números racionales.

Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica y son números reales pero no racionales (ej: π). Aparecen cuando la raíz cuadrada de un número no es un cuadrado perfecto.

Proporciones

La proporción entre dos números... Continuar leyendo "Exploración de Números Reales, Espacios Vectoriales y Geometría Analítica" »

Modelos Dinámicos y Regresores Estocásticos

1) Simultaneidad

Ramas de la Estadística

• Estadística descriptiva: Permite observar y describir numéricamente una población. Está basada en el método deductivo.
• Cálculo de probabilidades: A partir de la definición de probabilidad, estudia los modelos teóricos de las poblaciones.
• Inferencia estadística: A partir de la observación de una muestra de la población, y utilizando las herramientas proporcionadas por el cálculo de probabilidades, se llega a la inducción de propiedades generales para el total de la población.

Formas de Observación de una Población

• Exhaustivamente: Si se observan todos y cada uno de los elementos de la población. Se conoce como censo. Es un proceso largo y muy laborioso.
• Parcialmente: Si se observa solo una parte de la población.

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Ciencia que se ocupa de la **recogida**, **presentación**, **descripción** y **análisis** de datos, lo que nos ayuda en la **toma de decisiones** en un contexto de **incertidumbre**.

Probabilidad: Parte de la estadística que se ocupa de calcular un número entre el **0** y el **1** que nos informa sobre el **grado de ocurrencia** de un **suceso**.

Inferencia Estadística: Parte de la estadística que, utilizando la información de una **muestra**, nos permite obtener **conclusiones** para toda una **población** con un determinado **grado de fiabilidad**.

Variables Estadísticas

Variable Estadística: Es lo que se desea estudiar. Se suele representar por *X* o *X_i*. Existen diversas clasificaciones:... Continuar leyendo "Glosario Esencial de Terminología Estadística" »

Lógica Proposicional

• Negación: Si la negación nos da verdadera, la proposición es falsa; si la negación es falsa, la proposición es verdadera.
• Conjunción (∧ "y"): Es verdadera solo si ambas son verdaderas.
• Disyunción (∨ "o"): Es falsa solo cuando ambas son falsas.
• Condicional (⇒ "entonces"): Es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad.
• Bicondicional (⇔ "si y solo si"): Es verdadero cuando ambos son falsos o ambos verdaderos.

Clasificación de Proposiciones

• Tautología: Todas verdaderas.
• Contradicción: Todas falsas.
• Contingencia: Puede ser verdadera o falsa.

Leyes Lógicas

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• ¬p ⇒ q ≡ p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Distribuciones Estadísticas

Definición Axiomática de Probabilidad

Es la más simple de todas las definiciones; está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para definir la probabilidad de un suceso.

Ventaja:

• Permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad.

Axiomas (Causas):

1. La probabilidad de cualquier suceso A es no negativa: P(A) ≥ 0.
2. La probabilidad del espacio muestral (suceso seguro Ω) es 1: P(Ω) = 1.
3. Si A, B, C, ... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales: P(A ∪ B ∪ C ∪ ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...

Consecuencias Importantes:

• La probabilidad del suceso imposible

Introducción al Diagrama de Bode

El Diagrama de Bode es una representación gráfica fundamental que nos permite determinar la estabilidad de un sistema mediante la caracterización de su respuesta en frecuencia. Consta de dos gráficas separadas:

• La Gráfica de Magnitud (o Diagrama de Amplitud), que representa el módulo de la función de transferencia en decibelios (dB) en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.
• El Diagrama de Fase, que representa el ángulo de la función de transferencia en grados en función de la frecuencia angular (ω) en escala logarítmica.

Fórmulas Clave

Para comprender el Diagrama de Bode, es esencial conocer las siguientes expresiones:

• Módulo de la Función de Transferencia:
  M(ω) = |G(jω)| =