Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

1) de un naipe ingles de 52 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte 8 o de trébol?

P (A ó B) = P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A^B)

=  +  -  =

2) se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?

P (primo o múltiplo de 5) =  +  -  =  =

3) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados, no se obtenga una suma igual a 10?

(5,5)(6,4)(5,5) y 6*6=36 =

P(A°C) = 1- P(A)= 1- =           -  =  =

4) en una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad y Estadística" »

Cuando la empresa elige simultáneamente las cantidades de dos o más **factores variables**, el problema de contratación es más difícil, ya que una variación del precio de uno de ellos altera la demanda de otros. Supongamos, por ejemplo, que tanto el trabajo como la maquinaria de la cadena de montaje son factores variables para producir maquinaria agrícola. Imaginemos que deseamos averiguar la **curva de demanda de trabajo** de la empresa. Cuando baja el salario, se demanda más trabajo aunque no varíe la inversión de la empresa en maquinaria. Pero a medida que se abarata el trabajo, el **coste marginal** de producir la maquinaria agrícola disminuye. Resulta rentable, pues, para la empresa aumentar su producción. En ese caso, es probable... Continuar leyendo "Optimización de la Contratación de Factores Variables en la Producción" »

Teorema 1.18 (Principio de la buena ordenación de los naturales)

Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.

Demostración

Sea A un subconjunto no vacío de N. Si 1 &in; A es claro que 1 = min A. Suponemos entonces que 1 ∉ A y consideremos el siguiente conjunto B = {n &in; N : n < 1}. Si B fuese inductivo, coincidiría con N, en particular, contendría al propio conjunto A. Entonces, cada elemento de A es estrictamente menor que sí mismo. Puesto que esto no puede ocurrir, el conjunto B no es inductivo. Es claro que 1 &in; B. Entonces existe n &in; B tal que n + 1 &in; B. De ello se deduce, por una parte, que n < n + 1, y por otra, existe x &in; A tal que x = n + 1. La primera condición implica que n + 1 >... Continuar leyendo "Teoremas Fundamentales de Análisis Matemático: Convergencia y Funciones Exponenciales" »

Asíntotas

Ejemplo: f(x) = x² / (4 - x)

Importante: Si una función tiene asíntota horizontal, NO tendrá oblicua.

Asíntota Vertical

Se expresa como x = k. En el ejemplo, x = 4. La asíntota vertical se encuentra donde la función NO existe, es decir, en el dominio.

Asíntota Horizontal

Se expresa como y = k. Se calcula como:

lim_x→∞ f(x)

• Si el exponente de x es mayor en el numerador, el límite es infinito y NO hay asíntota horizontal.
• Si la x de mayor exponente está en el denominador, el límite vale cero y SÍ hay asíntota horizontal en y = 0.
• Si los exponentes son iguales en el numerador y el denominador, el límite vale la división de los coeficientes de las x mayores arriba y abajo.

Asíntota Oblicua

Se expresa como y = mx + n. Para que... Continuar leyendo "Conceptos matemáticos avanzados: asíntotas, dominio, cálculo integral y más" »

Elementos Básicos de la Geometría

• El punto: Es la intersección de dos rectas que se cortan. Se representan con una letra mayúscula, por un círculo pequeño, una cruz o un aspa.
• Línea recta: Es una sucesión de puntos en una misma dirección. Se representan con una letra.
• Semirrecta: Es la parte de la recta limitada por un extremo. Se representa con la letra mayúscula del punto y la minúscula de la recta.
• Segmento: Es la parte de la recta limitada por dos extremos. Se nombra con dos letras mayúsculas.
• Línea curva: Es la sucesión de puntos que no están en una misma dirección. Se representa con una letra minúscula.

Clasificación de los Ángulos

• El ángulo: Es la porción del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que parten

matrises:

definimos una matriz como una agrupación de elementos dispuestos en filas y columnas, enredados entre corchetes, paréntesis o doble barra,. Los simbolizamos con una letra mayúscula y a los elementos con minúsculas. (CUADRO) todo elemento general de la matriz se simboliza como: A_ij= subíndice I son las filas; subíndice J son las columnas. Llamamos orden de una matriz al numero de filas y columnas  que contiene.

Clasificación de matrices:

Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo numero de filas que de columnas. * matriz rectangular: cuando el numero de filas es distinto al numero de columnas, nos queda definida una matriz rectangular, es decir M (distinto) N. * matriz diagonal: la diagonal principal es la que va desde el... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra Lineal: Definición, Clasificación y Operaciones con Matrices" »

Inversa de una Matriz

Sea A una matriz de orden n. Si existe su inversa, se simboliza como A^-1 y es una matriz de orden n tal que verifica la siguiente igualdad: A · A^-1 = A^-1 · A = I.

Matrices No Singulares o Regulares

Son las matrices cuadradas que poseen inversa.

Matrices Singulares o No Regulares

Son las matrices cuadradas que no poseen inversa.

Propiedades de la Matriz Inversa

1. Si A es una matriz no singular y se verifica que AB = I, entonces BA = I. Esto significa que si una parte cumple con la definición de matriz inversa, la otra también lo hace.
2. La inversa de una matriz es única. Si AB = AC = I, entonces B = C, lo que implica que B y C cumplen las condiciones para ser inversas de la matriz A.
3. La inversa de un producto de dos matrices no

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central son valores que representan el centro de un conjunto de datos. Las más comunes son la moda, la mediana y la media aritmética.

Moda (Mo)

La moda es el valor de la variable que más se repite en un conjunto de datos. Se busca en la columna de frecuencia absoluta (fi). Al reportar la moda, se indica el valor de la variable (Xi) correspondiente, no la frecuencia.

• Si los datos están agrupados en intervalos (límites reales), se calcula la marca de clase (Xi) para encontrar la moda: Xi = (Ls + Li) / 2, donde Ls es el límite superior y Li es el límite inferior.
• Si los datos tienen límites aparentes, se deben convertir a límites reales. Para ello:
  • Se toma el primer límite inferior

L1: 500 horas y 1.000.000 euros. L2: 250 horas y 900.000 euros.

Leche: 6€/litro. Coste fabricación: 352€/hora. Se dispone de 200 horas.

Previsiones

Reales

Coste Materia Prima

• 42000 * 6,1 = 256200
• 18000 * 5,4 = 97200
• 60000 * 5,89 = 353400

Desviación Global

115000,56 - 170400 = -55399,5

Desviación por efectos

Efecto Económico vs. Efecto Técnico

Límite de una función

Límite: se dice que la función f tiende al número L cuando x tiende al número a, si y solo si para cualquier número positivo ε (épsilon), existe un número positivo δ (delta) tal que la diferencia entre la función y su límite debe poder hacerse tan pequeña como se quiera.

Operaciones para calcular un límite

Para calcular un límite existen las siguientes operaciones:

• Pasar al límite: es sustituir en la función la variable independiente por el valor al cual tiende y efectuar las operaciones indicadas.
• Levantar la indeterminación: cuando al reemplazar en la función la variable x por el valor al cual tiende obtenemos uno de los siguientes resultados: 0/0, ∞/∞, 0 · ∞, etc. Diremos que hemos llegado a una