Chuletas y apuntes de Matemáticas

Distancia entre pares de puntos

• A(7, 9) y B(8, 8): d = √((8-7)² + (8-9)²) = √1² + (-1)² = √2 ≈ 1.41
• Distancia adicional: √((7-4)² + (5-(-4))²) = √(3² + 9²) = √90 ≈ 9.48

Pendiente y ángulo de inclinación

• Puntos (7, 9) y (-6, -5): m = (-5-9) / (-6-7) = -14 / -13 ≈ 1.07. Ángulo: tan⁻¹(1.07) ≈ 47.12°
• Puntos (-1, 8) y (6, -9): m = (-9-8) / (6-(-1)) = -17 / 7 ≈ -2.42. Ángulo: tan⁻¹(-2.42) ≈ -67.5°

Valores de m y b

Dada la ecuación: x - 2y + 8 = 0

Despejando y: 2y = x + 8 → y = (1/2)x + 4

Por lo tanto: m = 1/2, b = 4

Ecuación de la recta

Punto y pendiente

• (-7, 8) con m = 3: y - 8 = 3(x + 7) → y = 3x + 29
• (-6, -1) con m = 4: y + 1 = 4(x + 6) → y = 4x + 23

Dados dos puntos

• A(3, 9) y B(-3, 0): m = (0-9) / (-3-3) =

¿Qué es la econometría?

Ciencia social en la cual las herramientas de la teoría económica, las matemáticas y la inferencia estadística son aplicadas al análisis de los fenómenos económicos.

Pasos:

1Planteamiento de la teoría o de la hipótesis Y = F (X)

2.Especificación del modelo matemático de la teoría

Y = bo +b1 X            Y = Ventas;  X = Gastos de publicidad

4 Obtención de datos

FRP

Estabilidad y Comportamiento de Sistemas Discretos

Un sistema discreto con una secuencia de impulso es estable si dicha secuencia tiende a cero. En el caso de una respuesta al escalón, el sistema se estabiliza alcanzando una altura determinada.

Parámetros de Tiempo y Frecuencia

• Step normal: tiempo/20, tiempo/30, tiempo/70.
• Cálculo del periodo en diagramas de Bode: π / rad.
• Condiciones: Sube y baja a la vez; no debe haber ceros ni polos en el origen.
• Bode en Lazo Abierto (L.A.): Puede ser negativo.
• Bode en Lazo Cerrado (L.C.): No puede ser negativo.

Efectos del Periodo de Muestreo

Caso 1: Polos Reales a Complejos Conjugados

Sea un sistema continuo y estable de orden 2, tal que ambos polos son reales. Se escoge un periodo de muestreo y se obtiene el...

Conceptos Básicos de Vectores

Desplazamiento: Cambio de posición. C→ es la suma A→ + B→ (cola de A→ hasta cola de B→). Calcula componentes de A→.

• Un punto (una recta).
• Para sumar varios vectores, la resultante es la suma de todos.
• Una cantidad vectorial se define si hay magnitud y dirección.

Magnitud y Operaciones Fundamentales

Magnitud (longitud del vector): A o |A→|. R→ = (A→ + B→) + C→.

• Multiplicación por un número: Es un número positivo. La magnitud es |c|A. Si c es positivo, cA→ tiene la misma dirección.
• Componentes rectangulares: Ax = A · cos(θ), Ay = A · sen(θ). El ángulo θ se mide desde el eje X girando hacia el eje Y.

Suma y Resta de Vectores

Suma de Vectores

C→ = A→ + B→. Se realiza colocando punta...

PARABOLA MOTAK:

Ahurra: A+ (zenbaki guztiak y ardatzan positiboak)

• U forma porq 1,2,3,4,5…

• Erpina ateratzeko:minimoa

• Erpina minimoa ukiko du

Ganbila:A- (zenbaki guztiak y ardatzan nergatiboak)

• U alrebes forma porq -1,-2,-3,-4-5...

• Erpina maximoa edukiko du

• Erpina ateratzeko:maximoa da erpina

GRAFIKOA

Eremua ta ibiltartea eskatzen baldin badu:

• Eremua : x (ezkerretik eskumara)

• Ibiltartea : y (goitik behera)

SIMETRIA ARDATZAREN FORMULA:

y=-b/2a

PARABOLA GUZTIEN FORMULA OROKORRA:

y=ax² + bx + c

-eta formula hau zenbakiekin ordezkatzen da

-Ez badago adibidez a edo b edo c, 1jartzen da

HITZEZKOA GRAFIKORA PASATZEKO: PAUSOAK

1- Ahurra edo ganbila dan

2-Erpina atera (maximoa eta minimoa)

3-S.A (simetria ardatza atera formula erabili x=-b/2a

4-Erpinaren koordenatuak jarri...

I) Resolución de ecuaciones cuadráticas simples

• a) 5x²-80=0 → 5x²=80 → x²=16 → x=4
• b) 7x²+14x=0 → 7x²=-14x → x²=-2x → x=-2
• c) (x-6)(x-3)=18 → x²-3x-6x+18=18 → x²=9x → x=9

II) Ecuaciones con productos y términos independientes

• d) (x-4)(x+7)=3(x-1) → x²+7x-4x-28=3x-3 → x²=25 → x=5
• a) x²+2x-80=0 → (x-8)(x+10)=0 → x₁=8, x₂=-10
• b) (x-4)²=4(x-4) → x²-8x+16=4x-16 → x²-12x+32=0 → (x-4)(x-8)=0 → x₁=4, x₂=8

III) Aplicación de la fórmula general

• a) 3x²+11x-4=0 (A=3, B=11, C=-4) → x₁=1/3, x₂=-4
• b) x(x-1)=2(x+5) → x²-x=2x+10 → x²-3x-10=0 → x₁=5, x₂=-2

IV) Discriminante y naturaleza de las raíces

• a) 7x²-30x+8=0 (A=7, B=-30, C=8) → x₁=4, x₂=2/7 (Raíces reales y distintas)
• b) 2x²+5x+15=0 (A=2, B=5, C=15) → Raíces

Conceptos Básicos de Estadística

• n: Tamaño de la muestra, que representa una parte de la población.
• N: Tamaño de la población total.
• μ (M): Media poblacional.
• Σ: Sumatoria de valores.
• x̄: Media de la muestra.
• x̄ₚ: Media ponderada, utilizada cuando existen varias observaciones con el mismo valor en la media aritmética.
• GM: Media geométrica, que determina el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.

Distribución de Frecuencias

Es la agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones en cada categoría.

• Paso 1: Defina el número de clases.
• Paso 2: Determine el intervalo o ancho de clase.
• Paso 3: Establezca los límites de cada clase.
• Paso 4: Clasifique los datos (ej.

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Rolle

Sea f:[a,b]→R continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces existe c perteneciente a (a,b) tal que f'(c)=0.

Teorema del Valor Medio (TVM)

Sea f:[a,b]→R continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c perteneciente a (a,b) tal que f(b)-f(a)= f'(c)(b-a).

Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow)

Sea f continua en [a,b] y sea F una primitiva de f en [a,b]. Entonces:

Demostración:

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es continua en [a,b] y F(x)= donde c pertenece a [a,b], entonces f'(x)= f(x) en [a,b], es decir, F es una primitiva de f.

Teorema del Valor Medio para Integrales (TVMINT)

Para una función continua en el intervalo , existe un valor en dicho...

Cálculo de Niveles de Confianza

Dada una media de la muestra de 8, una desviación estándar poblacional de 2.6 y una muestra de tamaño 32, encuentra el nivel de confianza asociado con cada uno de los siguientes intervalos:

• 8. (7.6136, 8.3684) — c) 59.90%
• 9. (6.85, 9.15) — c) 98.76%
• 10. (7.195, 8.805) — b) 91.98%
• 11. (7.007, 8.993) — a) 96.92%

Distribución de Proporciones Muestrales

Una corporación va a realizar una nueva emisión de acciones. La ley exige que a los accionistas actuales se les deba dar la primera opción de compra de toda nueva emisión. La gerencia considera que el 45% de los accionistas actuales desearán comprar. Se selecciona una muestra aleatoria de 130 accionistas, 63 de los cuales expresan su deseo de comprar.

• 12.

Elementos y Definición de un Ángulo

Un ángulo está formado por:

• Lado de un ángulo: Cada una de las dos semirrectas.
• Vértice de un ángulo: Punto en el que coinciden las dos semirrectas.
• Amplitud: Lo más importante del ángulo; es la abertura que hay entre los lados.

A los lados del ángulo se les conoce como lado inicial y lado final, los cuales se determinan siguiendo el sentido contrario a las manecillas del reloj (como se muestra en la figura), en cuyo caso decimos que el sentido es positivo; en caso contrario, el sentido sería negativo.

Clasificación de los Ángulos según su Medida

• Agudo: Menos de 90°.
• Recto: 90°.
• Obtuso: Más de 90° pero menos de 180°.
• Llano: 180°.
• Cóncavo: Más de 180° pero menos de 360°.
• Perígono: 360°.

Relaciones