Fundamentos de Vectores: Operaciones, Magnitud y Componentes

Conceptos Básicos de Vectores

Desplazamiento: Cambio de posición. C→ es la suma A→ + B→ (cola de A→ hasta cola de B→). Calcula componentes de A→.

• Un punto (una recta).
• Para sumar varios vectores, la resultante es la suma de todos.
• Una cantidad vectorial se define si hay magnitud y dirección.

Magnitud y Operaciones Fundamentales

Magnitud (longitud del vector): A o |A→|. R→ = (A→ + B→) + C→.

• Multiplicación por un número: Es un número positivo. La magnitud es |c|A. Si c es positivo, cA→ tiene la misma dirección.
• Componentes rectangulares: Ax = A · cos(θ), Ay = A · sen(θ). El ángulo θ se mide desde el eje X girando hacia el eje Y.

Suma y Resta de Vectores

Suma de Vectores

C→ = A→ + B→. Se realiza colocando punta con cola; el vector resultante es la diagonal. Para sumar varios vectores, primero suma A y B dando D→, y luego súmalo con el vector C.

Resta de Vectores

Se realiza colocando punta con punta. A→ - B→ es el vector desde la punta de B→ hasta la punta de A→. La magnitud de C→ es la diferencia de las magnitudes de A→ y B→ (|A - B|).

• OJO: Si los vectores son antiparalelos, la magnitud es la diferencia. Si son paralelos, se suman.
• Ángulos por cuadrante:
  • 1er: θ = α
  • 2do: θ = 180° - α
  • 3er: θ = 180° + α
  • 4to: θ = 360° - α
  • Ángulo negativo: θ = 360° + αneg

Cálculo de Vectores usando Componentes

Rx = Ax + Bx ; Ry = Ay + By. Funciona con varios vectores.

1. Cálculo de magnitud y dirección de un vector

• Magnitud (A): A = √(Ax)² + (Ay)²
• Dirección (θ): θ = arctan(|Ay| / |Ax|). Luego, ubícalo en el cuadrante correspondiente.

2. Multiplicación de un vector por un escalar

Si A→ se multiplica por c: Dx = cAx, Dy = cAy.

3. Suma de vectores (Resultante) con componentes

R→ = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j. Las componentes de R→ son la suma de las componentes de A→ y B→. R→ = Rx i + Ry j.

Vectores Unitarios

A→ = Ax i + Ay j. También puedes agregar la dirección z. El primer cardinal (N o S) te da el signo de Y, el segundo te da el signo de X.

• Nota sobre ángulos: Cuando el ángulo mide desde el eje vertical (N/S), el seno va en X y el coseno en Y (bajo o sobre el eje).
• Signos por cuadrante: (+,+) 1er; (-,+) 2do; (-,-) 3er; (+,-) 4to.