Teoremas Fundamentales del Cálculo y Análisis Vectorial: Resumen Esencial

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 7 de Abril de 2026 en con un tamaño de 32,21 KB

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Rolle

Sea f:[a,b]→R continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces existe c perteneciente a (a,b) tal que f'(c)=0.

Teorema del Valor Medio (TVM)

Sea f:[a,b]→R continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c perteneciente a (a,b) tal que f(b)-f(a)= f'(c)(b-a).

Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow)

Sea f continua en [a,b] y sea F una primitiva de f en [a,b]. Entonces:

EaaU84SEsALFyEHCZMTAIY5ycUNx8KzmHnIwhuiJ

Demostración:

hMANhUjFWdTQhkH0kkBUYIIqckFslxJZGcSQghOg

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es continua en [a,b] y F(x)= donde c pertenece a [a,b], entonces f'(x)= f(x) en [a,b], es decir, F es una primitiva de f.

Teorema del Valor Medio para Integrales (TVMINT)

Para una función continua f(x) en el intervalo [a,b] , existe un valor $\xi$ en dicho intervalo, tal que:

$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b -a)$

Demostración:

Dado que la función es continua en [a,b] , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún $V\in[a,b]$ , que llamaremos M=f(V) , y también un valor mínimo en el mismo intervalo: m=f(v) , para algún $v\in[a,b]$ . Es decir, $f(V)\geq f(x),\forall x\in[a,b]$ y $f(v)\leq f(x),\forall x\in[a,b]$ . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base b-a y altura o , tendremos la siguiente desigualdad:

$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

Lo que implica:

$m\leq\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M$

De donde se deduce que debe existir algún $\xi\in[a,b]$ para el cual la función alcanza el valor de la integral $\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)$ , es decir:

$\exists \xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx$

Teoremas de Análisis Vectorial

Teorema Fundamental para Integrales de Línea

Sea E un conjunto abierto y conexo de R³ y sea r(t)=(x(t),y(t),z(t)), t pertenece a [a,b] una curva suave a trozos contenida en E. Si F:E→R³ es un campo conservativo, entonces:

IjqSMHyk9UnxXIR6yOx2qSEgElQ6yYZsdoqSaUBy , donde f es un potencial de F.

Teorema de Green

Sea R una región del plano simplemente conexa cuyo contorno es una curva C suave a trozos y orientada en sentido positivo. Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces:

LA89L+DAQAIpmEDsPEDeM2fLPJNr6Xtf9GuxEz+3

Teorema de Gauss (Divergencia)

Sea Q una región sólida acotada por una superficie cerrada S, orientada por vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces:

CcTM0UIoAFtgtT0jB4c5JffEky15USBBwYwEoKsg

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada con vector normal unitario N, acotada por una curva cerrada simple C, suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a C, entonces:

EIRlE28BMEhzOW7ZxW1iHlcJJCWhUEGZQOnS3GhN

Teorema de Fermat

Sea f:[a,b]→R y sea c perteneciente a (a,b). Si f tiene un extremo relativo en c, entonces c es un punto crítico de f.

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