Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica: Rectas y Circunferencias

Distancia entre pares de puntos

• A(7, 9) y B(8, 8): d = √((8-7)² + (8-9)²) = √1² + (-1)² = √2 ≈ 1.41
• Distancia adicional: √((7-4)² + (5-(-4))²) = √(3² + 9²) = √90 ≈ 9.48

Pendiente y ángulo de inclinación

• Puntos (7, 9) y (-6, -5): m = (-5-9) / (-6-7) = -14 / -13 ≈ 1.07. Ángulo: tan⁻¹(1.07) ≈ 47.12°
• Puntos (-1, 8) y (6, -9): m = (-9-8) / (6-(-1)) = -17 / 7 ≈ -2.42. Ángulo: tan⁻¹(-2.42) ≈ -67.5°

Valores de m y b

Dada la ecuación: x - 2y + 8 = 0

Despejando y: 2y = x + 8 → y = (1/2)x + 4

Por lo tanto: m = 1/2, b = 4

Ecuación de la recta

Punto y pendiente

• (-7, 8) con m = 3: y - 8 = 3(x + 7) → y = 3x + 29
• (-6, -1) con m = 4: y + 1 = 4(x + 6) → y = 4x + 23

Dados dos puntos

• A(3, 9) y B(-3, 0): m = (0-9) / (-3-3) = -9 / -6 = 3/2. Ecuación: y = 1.5x + 4.5
• (2, -1) y (-8, 4): m = (4 - (-1)) / (-8 - 2) = 5 / -10 = -1/2. Ecuación: y = -0.5x

Transformaciones de ecuaciones

Forma ordinaria

8x - 3y + 24 = 0 → 3y = 8x + 24 → y = (8/3)x + 8

Forma general

• y = 2x - 8 → 2x - y - 8 = 0
• x/5 + y/8 = 1 → 8x + 5y - 40 = 0

Distancia de un punto a una recta

Fórmula: d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)

Conceptos de Circunferencia

• Circunferencia: Curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
• Radio: Segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia.
• Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
• Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Secante: Recta que atraviesa la circunferencia cortándola en dos puntos.
• Tangente: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

Ecuación de la circunferencia

• Radio = 1: x² + y² = 1
• Diámetro = 12 (Radio = 6): x² + y² = 36

Cálculo de área y perímetro

Centro (7, -1) y radio 3:

(x - 7)² + (y + 1)² = 3²

x² - 14x + 49 + y² + 2y + 1 = 9

x² + y² - 14x + 2y + 41 = 0

Donde D = -14, E = 2, F = 41.