Demostración del Equilibrio Competitivo mediante el Teorema del Punto Fijo

Supongamos que las preferencias son no saciables localmente y que las funciones de demanda ordinaria son continuas. Bajo estas condiciones, existe un vector de precios p* de equilibrio competitivo. A continuación, presentamos la prueba formal.

El Proceso de Subasta

Un subastador anuncia un precio p ∈ S^l-1:

• Si z(p) ≤ 0, entonces p es un precio de equilibrio competitivo.
• Si z_j(p) > 0 para algún bien j, el subastador anuncia nuevos precios p' donde, para cada bien j, p'_j = g_j(p), siguiendo la regla:

g_j(p) = (p_j + max{z_j(p), 0}) / (1 + Σ^l_k=1 max{z_k(p), 0})

El denominador es constante para todos los bienes. Si el bien j presenta un exceso de demanda (z_j(p) > 0), su nuevo precio g_j(p) aumenta en proporción a aquellos bienes donde z_k(p) ≤ 0. Por tanto, esta regla incrementa el precio relativo de los bienes con exceso de demanda.

Desarrollo de la Prueba

1.er paso: Existencia de un punto fijo

Demostraremos que g es una función continua del simplex en sí mismo (g: S^l-1 → S^l-1):

• No negatividad: g(p) pertenece a R^l₊, ya que tanto el numerador como el denominador son no negativos.
• Suma unitaria: Σ^l_j=1 g_j(p) = [Σ^l_j=1 p_j + Σ^l_j=1 max{z_j(p), 0}] / [1 + Σ^l_k=1 max{z_k(p), 0}]. Dado que Σ^l_j=1 p_j = 1, la suma es igual a 1.
• Continuidad: g es continua por ser composición de funciones continuas (z(.) y max{.,.}).

Como S^l-1 es no vacío, compacto y convexo, por el Teorema del punto fijo, existe p* ∈ S^l-1 tal que p* = g(p*).

2.º paso: El punto fijo como vector de equilibrio

Sabemos que p* = g(p*). Por tanto, para todo j = 1, ..., l:

p*_j = (p*_j + max{z_j(p*), 0}) / (1 + Σ^l_k=1 max{z_k(p*), 0})

Reordenando términos:

p*_j + p*_j Σ^l_k=1 max{z_k(p*), 0} = p*_j + max{z_j(p*), 0}

Luego:

p*_j Σ^l_k=1 max{z_k(p*), 0} = max{z_j(p*), 0}

Multiplicando ambos lados por z_j(p*):

z_j(p*) p*_j Σ^l_k=1 max{z_k(p*), 0} = z_j(p*) max{z_j(p*), 0}

Sumando para todos los bienes:

[Σ^l_j=1 z_j(p*) p*_j] Σ^l_k=1 max{z_k(p*), 0} = Σ^l_j=1 z_j(p*) max{z_j(p*), 0}

Por la Ley de Walras, Σ^l_j=1 z_j(p*) p*_j = 0, luego Σ^l_j=1 z_j(p*) max{z_j(p*), 0} = 0.

Dado que cada sumando es cero o (z_j(p*))² > 0, para que la suma sea cero, todos los sumandos deben ser cero. Esto implica que z_j(p*) ≤ 0 para todo j. En consecuencia, p* es un vector de equilibrio competitivo.