Fundamentos de Lógica Matemática, Combinatoria y Polinomios

Lógica Proposicional

• Negación: Si la negación nos da verdadera, la proposición es falsa; si la negación es falsa, la proposición es verdadera.
• Conjunción (∧ "y"): Es verdadera solo si ambas son verdaderas.
• Disyunción (∨ "o"): Es falsa solo cuando ambas son falsas.
• Condicional (⇒ "entonces"): Es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad.
• Bicondicional (⇔ "si y solo si"): Es verdadero cuando ambos son falsos o ambos verdaderos.

Clasificación de Proposiciones

• Tautología: Todas verdaderas.
• Contradicción: Todas falsas.
• Contingencia: Puede ser verdadera o falsa.

Leyes Lógicas

• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• ¬p ⇒ q ≡ p ∨ q
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
• p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Tablas de Verdad

Inducción Matemática

• Demostrar que es válida para P(1).
• Hipótesis: Asumir que es verdadera para k.
• Tesis: Demostrar para k+1.
• Conclusión: Por el teorema de inducción, deducimos que para todo n, P(n) es verdadera.

Sumatorias

• Σk = [n(n+1)]/2
• Σk² = [n(n+1)(2n+1)]/6
• Telescópica: Σ(Ak - Ak+1) = A₁ - An+1
• Suma geométrica: Σr^k = (1-r^(n+1))/(1-r)

Combinatoria y Permutaciones

• Combinación (sin orden, sin repetición): C = m! / (n!(m-n)!)
• Combinación (sin orden, con repetición): CR = (m+n-1)! / (n!(m-1)!)
• Variación (orden, sin repetición): V = m! / (m-n)!
• Variación (orden, con repetición): VR = m^n
• Permutación (orden, sin repetición): P = m!
• Permutación (con repetición): PR = n! / (a!b!c!)

Teorema del Binomio y Números Complejos

• (a+b)^n = Σ (n sobre k) a^(n-k) * b^k
• (a-b)^n = Σ (n sobre k) a^(n-k) * (-b)^k
• Forma polar: Zk = ||w|| * cis(α/n + 2kπ/n)

Polinomios

• Raíces: Los divisores del término independiente divididos por los divisores del coeficiente principal.
• División sintética: Utilizar la tabla para reducir el grado del polinomio.
• Resolución: Aplicar la fórmula cuadrática para obtener las dos últimas raíces.