Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Métodos de Optimización Numérica

Método del Gradiente Descendente

Proporciona una buena dirección de descenso inicial, pero puede presentar baja convergencia cerca del óptimo. Su velocidad de convergencia es típicamente lineal (considerada lenta).

Método de Newton

Ofrece buena convergencia cerca de la solución, pero no garantiza la orientación hacia un mínimo (puede converger a máximos o puntos silla si no se toman precauciones). Su velocidad de convergencia es cuadrática (considerada rápida) bajo ciertas condiciones.

Conceptos Clave en Optimización

Moverse en la dirección del descenso dada por el negativo del gradiente (-∇f) es la mejor opción localmente (marginalmente), pero esto no determina la rapidez global de convergencia,... Continuar leyendo "Conceptos y Métodos Fundamentales de Optimización Matemática" »

Cálculo de Intersección de Carreteras y Altura de Pilar

Datos iniciales: Puntos A, B, C, D; pendiente m1; abscisa del vértice del acuerdo Xv; parámetro de la parábola Kv.

1. Intersección de las rectas AB y CD (Punto I):
   • Se resuelve el sistema de ecuaciones de las rectas para obtener las coordenadas (x, y) de la intersección I.
   • Recta AB: y - ya = (ΔY_ab / ΔX_ab) * (x - xa)
   • Recta CD: y - yc = (ΔY_cd / ΔX_cd) * (x - xc)
2. Distancia AI:
   • Se calcula la distancia euclidiana: D = √(ΔX² + ΔY²)
   • Nota: Se indica que la intersección estará en el acuerdo vertical a la izquierda del vértice V (primera rasante), dado que Xv = 185.
3. Cálculo de la Coordenada Y del Vértice V (Yv):
   • Se utiliza la ecuación de la recta AV, conociendo las coordenadas de A,

Intervalos

Dados los números reales a y b, siendo a < b, llamaremos intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Estos se denominan extremos del intervalo: a es el extremo izquierdo o inferior y b el extremo derecho o superior.

• Intervalo cerrado: es aquel que contiene a sus extremos. Ejemplo: [a, b].
• Intervalo abierto: es aquel que no contiene a sus extremos.

Diferencial e incremento de una función

El concepto de diferencial surge del concepto de derivada. Supongamos que una función y = f(x) tiene una derivada en un intervalo [a, b]. En un punto cualquiera del mismo, su derivada se calcula mediante la expresión:

Lim_x→0 ∆y/∆x = f'(x) (sabiendo que f'(x) en un punto es un número real).

Es decir, entonces cuando el... Continuar leyendo "Conceptos fundamentales de cálculo: intervalos, diferenciales, extremos y funciones crecientes y decrecientes" »

i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

ii) Toda sucesión de números reales monótona y no acotada es divergente.

Demostración

i) Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y mayorada y sea x = sup {xn : n ∈ N} . Dado ε ∈ R⁺, existe m ∈ N tal que xm > x-ε . Consideremos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x ≥ xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn ≤ x - xm < ε. Se prueba así que {xn} converge a x.

De forma análoga se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y minorada entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N} .

Esto concluye la demostración del primer apartado pues cualquier sucesión monótona y acotada se encuentra... Continuar leyendo "Convergencia de Sucesiones Reales y Complejas: Teoremas y Demostraciones" »

Tipos de Conocimiento

Conocimiento vulgar: Saber alcanzado por la experiencia.

Conocimiento científico: Aquel saber concebido mediante una metodología y basado en conocimientos preexistentes.

Componentes Clave de la Investigación

Investigación científica: Búsqueda de conocimiento siguiendo procedimientos establecidos.

Unidad de análisis: Son entidades identificables, numerables o computables.

Variables: Características o cualidades en estudio, observables en una unidad de análisis, que integran el contenido del dato científico.

Universo: Determinación de los objetos, fenómenos o hechos incluidos en la investigación, cuyo conocimiento alcanzado debe poder extenderse a otras situaciones o fenómenos en igualdad de condiciones.

Universo o