Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

¿Qué es Estadística?

Rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar, procesar y analizar datos para deducir características de un grupo o fenómeno.

¿En Qué Áreas se Aplica la Estadística?

Actualmente se aplica en todas las áreas del saber, por ejemplo, en Sociología, Educación, Psicología, Administración, Economía, Medicina, Ingeniería, entre otras.

Números Naturales

Los números naturales son los números que sirven para contar elementos. Por ejemplo, 1, 2 y 3 son números naturales, ya que podemos decir: 1 libro, 2 zapatos, 3 personas.

Números Enteros

Los números enteros están formados por los números positivos, los números negativos y el cero. Los números positivos son como los naturales, pero se pueden representar... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística y Matemáticas Básicas" »

1. Tipos de Rendimientos a Escala

• Rendimientos decrecientes a escala (< 1): Ocurren cuando la producción total aumenta en una proporción menor al incremento de los factores.
• Rendimientos constantes a escala (= 1): Se presentan cuando la producción aumenta en la misma proporción que los factores.
• Rendimientos crecientes a escala (> 1): Suceden cuando la producción total aumenta en una proporción mayor al incremento de los factores.

2. Maximización de Ganancias en Competencia Perfecta

Para que una empresa en un mercado de competencia perfecta alcance el nivel óptimo de beneficios produciendo una cantidad Q, deben cumplirse las siguientes condiciones:

• El Costo Marginal (CMg) debe ser creciente.
• El precio de mercado (P) debe ser igual al

Tabla de Frecuencias

La tabla de frecuencias es una herramienta fundamental en estadística descriptiva que permite organizar y resumir datos. A continuación, se describe cómo construir tablas de frecuencias para diferentes tipos de variables:

Variable Cualitativa

Supuesta una muestra de tamaño n, y observando una característica cualitativa de la misma, los resultados de dichas observaciones se agrupan según las modalidades que admite el atributo observado. En el caso de una variable cualitativa nominal, el orden de las clases es indiferente; por el contrario, si es cualitativa ordinal, se procede a colocarlas en el orden indicado, siempre de menor a mayor.

Variable Cuantitativa Discreta

En el caso de variables cuantitativas discretas, las... Continuar leyendo "Tablas de Frecuencias y Representaciones Gráficas: Tipos de Variables Estadísticas" »

Integrales Trigonométricas

Integrales Racionales de Funciones Trigonométricas: ∫R[sen(x), cos(x)] dx

• Caso 1: Impar en el seno. Si la función es impar respecto a sen(x) (es decir, R(-sen(x), cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = cos(x).
• Caso 2: Impar en el coseno. Si la función es impar respecto a cos(x) (es decir, R(sen(x), -cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = sen(x).
• Caso 3: Par en ambos. Si la función es par respecto a sen(x) y cos(x) (es decir, R(-sen(x), -cos(x)) = R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = tan(x). En este caso, dx = dt/(1+t²).
• Caso 4: Cambio General (Universal). Para cualquier función racional de sen(x) y cos(x), se puede utilizar la sustitución: t = tan(

TEOREMA Y FORMULA FUNDAMENTAL DEL Cálculo INTEGRAL

Teorema del valor medio integral: si una función f(x) es contínua en un intervalo[a,b]existe un punto intermedio CE (a,b) tal que f(c)= 1/b-a int^b_a f(x) dx. Teorema fundamental del cálculo: Si una función f(x) es continua en [a,b]entonces la función definida por f(x)=int^x_a f(t) dt es continua en (a,b) y Fc'x=f(x). Como consecuencia si conocemos una antiderivada g(x) de una función continua f(x) en el intervalo [a,b]. Es decir, si g'(x)=f(x) para todo XE[a,b]. Como cambien la función F(x)=int^x_a f(t) dt es otra antiderivada de f(x),se tiene que la derivada de la diferencia es cero para todo XE [a,b]; es decir: (F(x)-g(x))'=F'(x)-g'(x)=f(x)-f(x)=0. Debe ser una función cte para todo XE... Continuar leyendo "Cálculo Integral, Derivadas Vectoriales y Números Reales: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones" »

Media Aritmética

Es una medida de centralización atendiendo al criterio del tamaño. Se define como el cociente de dividir la suma de todas las observaciones de la población (muestra) entre el tamaño de la misma.

Casos

1. Cuando cada observación x_i aparece una sola vez, es decir, todas las observaciones toman valores distintos, la expresión de la media es Σx_i/n.
2. Si cada observación x_i se repite f_i veces, la media toma la forma Σ(f_i.x_i)/n. Si la variable es cuantitativa discreta, x_i representa los valores que toma la variable y si es cuantitativa continua, representa la marca de clase. También se puede expresar la media aritmética en función de las frecuencias relativas Σ(h_i.x_i).

Mediana

Llamaremos mediana de una distribución de frecuencias... Continuar leyendo "Medidas de Centralización y Posición: Media, Mediana, Moda y Cuantiles" »

¿Qué es una expresión algebraica?

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes:

• Longitud de la circunferencia: L = 2πr, donde r es el radio.
• Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado.
• Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista.

Expresiones algebraicas comunes

• El doble o duplo de un número: 2x
• El triple de un número: 3x
• El cuádruplo de un número: 4x
• La mitad de un número: x/2

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini, vamos a tomar de ejemplo la división: (x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

1. Si el polinomio

Conceptos Fundamentales de Topología

Relación entre Puntos de Acumulación y Adherencia

Todo punto de acumulación de $A$ es adherente en $A$

Se definen el punto de acumulación ($A'$) y el punto de adherencia (o clausura, $\bar{A}$). Por sus definiciones, vemos que todo punto de $A$ está adherido a $A$, es decir, $A \subset \bar{A}$. Sin embargo, un punto adherido no necesariamente es de acumulación.

Naturalmente, los puntos de acumulación están adheridos, es decir, $A' \subset \bar{A}$.

Un punto $p$ puede ser de acumulación de $A$ sin ser un punto de $A$. Por ejemplo, si $A = (1, 5)$, el número $1$ es de acumulación del conjunto, pero $1 \notin A$.

Propiedad de los Conjuntos Abiertos: Intersección

La intersección de dos conjuntos abiertos

Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Principio del Método

Es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI). Para poder aplicarlo, la ecuación característica del sistema debe ser un polinomio con coeficientes reales y constantes. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la estabilidad es que todos los coeficientes del polinomio sean diferentes de cero y tengan el mismo signo.

El criterio de Routh-Hurwitz está basado en la construcción de la tabla de Routh (o tabulación de Routh).

Una vez completada la tabla de Routh, se observan los coeficientes de la primera columna. La cantidad de cambios de signo entre los coeficientes de esta primera columna es... Continuar leyendo "Criterio de Routh-Hurwitz para la Estabilidad de Sistemas LTI" »