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Más soluciones Hoja 3b
18) i) F->=(3x2yz+2xy)i+(x3z+x2+2yz)j+(x3y+y2+1)k c->=(cost,sent,t3) [0,pi] c(0)=(1,0,0) c(pi)=(-1,0,pi3) F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|=i(x3+2y-x3-2y)-j(3x2y-3x2y)+k(3x2z-3x2z )=0 Campo conservativo existe potencial F1=3x2y z +2xy =df/dx f=? ( 3x2y z +2xy )dx=x3yz+x2y+k1(y,z) F2=x3z+x2+2yz=df/dy = x3z+x2+dk1/dy dk1/dy=2yz k1 =? 2yzdy=y2z+k2(z) F3=x3y+y2+1=df/dz=x3y+y2+dk2/dz dk2/dz=1 k2=? 1dz=z+k3 Potencial final:f= x3yz+x2y + y2z +z+k3 para la integral de linea sustituir los valores del pto o vector en el potencial y tenemos el valor de esta ii) F->=(3x2yz2-2xy)i+(x3z2-x2+z3)j+(2x3yz+3z2y+senz)k F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|=i( 2 x3z + 3z2- 2 x3z - 3z2)-j( 6 x2y z - 6 x2y z )+k(3x2z2- 2x- 3x2z2+2x )=0 Campo conservativo existe potencial F1=3x2yz2-2xy=df/dx f=? ( 3x2yz2-2xy )dx=x3yz2-x2y +k1(y,z) F2= x3z - x2+z3=df/dy= x3z - x2 +dk1/dy dk1/dy=z3 k1=? z3dy=z3y+k2(z) f= x3yz2-x2y + z3y +k2(z) F3= 2x3yz+3z2y+senz =df/dz= 2x3yz+3z2y+ dk2/dz dk2/dz= senz k2=? senzdz=-cosz+k3 Potencial:f= x3yz2-x2y + z3y -cosz+k3 v) F->=ezi-cosxyj+z3yk F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|= i(z3-0)-j(0-ez)+k(ysenxy-0) distinto de 0 campo no conservativo no existe potencial ¡No intentar calcularlo xq salen incongruencias! 19) F->=(z3+2xy)i+x2j+3xz2k Demostrar que la integral de linea c->F->dS->= 0 a)Utilizando el potencial: c(0,0) z=0 F=0 Campo conservativo Potencial:f=xz3+x2y+k c->F->dS->= f(0,0,0)-f(0,0,0)=k-k=0 Calculando a mano:Circunferencia de centro C(1/2,1/2) y radio r=? 2/2 x=1/2+rcosteta dx=-rcosteta y=1/2+rsenteta dy=rcosteta F->=2xyi+x2j z=0 F(x,y,z)=[03+r(1/2+rcosteta)(1/2+rsenteta)]i+(1/2+rcosteta)2j+0k dS->=r(-sentetai+costetaj+0k) c->F->dS->=?02pi[r(-2)(1/2+rcosteta)(1/2+rsenteta)senteta+r(1/2+rcosteta)costeta]dteta=Tma Green{Q=x2 P=2xy dQ/dx-dP/dy}=??c(2x-2x)dxdy=0 {Pdx+Qdy} xq ? odx=k ?ab0dx=[k]ab=k-k=0 20) r->=xi+yj+zk r=||r->||=?(x2+y2+z2) F->=-GMm/r3r->=-GMm/r2ur-> F->=-GMm(r->/r3)=-GMm(x/r3,y/r3,z/r3) ur->=r->/r por comodidad para calcular el rotacional prescindimos de -GMm para no liarnos, pero el resultado será el mismo con -GMm Comprobar que F-> es un campo gradiente 1º Cálculo del rotacional dyz/r3=zdy(r-3)=zdy((x2+y2+z2)-3/2)=z(-3/2)(x2+y2+z2)-5/22y=-3zyr-5 d zy /r3= y d z (r-3)=zdy((x2+y2+z2)-3/2)= y (-3/2)(x2+y2+z2)-5/22 z =-3zyr F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|= i(dyz/r3-dzr/r3)-j(dxz/r3-dzx/r3)+k(dxy/r3-dyx/r3)=0 F-> es un campo gradiente Cálculo del potencial: dxf=F1 f= ? F1dx= ? x/r3dx= ? x dx /( x2+y2+z2)3/2= ( x2+y2+z2)-1/2{d(x2+y2+z2)-1/2/dx=-1/ 2 (x2+y2+z2)-3/2x} =-1/ r +k1(y,z) =f dyf=dy[-( x2+y2+z2)-1/2] =1/ r [ x2+y2+z2]-3/2ry+dyk1=yr-3+dyk1=F2=y/r3 dyk1=0 k1=k(z) f=-1/r+k1(z) dzf=dz(1/r)+dz(k1)=3/r3+dzk1=F3=z/r3 dzk1=0 k1 es cte f=GMm/r+k1 W= ?c->F->dS->= f( r2->)-f( r1->)= GMm/r2-GMm/r1= mgh c-> va de r1->a r2-> r2=r1+h h<<x->0} c4{x=0 1->y->0} ? c->(y2+x3)dx+x4dy=?c1+?c2+?c3+?c4=??R(4x3-2y)dxdy=?01x3dx+?01[(y2+1)dx+dy]+?10[(1+x3)dx+x4dy]+?10y2dx=?01dx?01dy(4x3-2y)=?01dx[4x3y-y2]01=?01dx(4x3-1)=[x4-x]01=0 22) P=2y Q=x D->disco unidad x=costeta dx=-sentetadteta y=senteta dy=costetadteta c->F->dS->= c +Pdx+Qdy = c->2ydx+xdy =?02pi(-2sentetasenteta+costetacosteta)dteta=?02pi(-2sen2teta+cos2teta)dteta=?02pi(-2sen2teta+ 1-sen2teta)dteta =?02pi(- 3 sen2teta+ 1 )dteta =-3?02pisen2tetadteta {1-cos2teta/2 ?02pi1/2dteta -?02picos 2 tetadteta =pi-[sen2teta]02pi=pi} +?02 pidteta=-3pi+2pi=-pi Tma Green: ??D( dQ/dx-dP/dy )d xdy=??D( 1-2 )dxdy =??D( -1 )dxdy = -1??0pidxdy =-pi Polares:?02pi?01r d rdteta=?02pidteta?01rdr =2pi[r2/2]01=2pi(-1/2)=-pi 23) F->=xy2i-yx2j c->=x2/a2+y2/b2=1 y2=b2(1-x2/a2) y=+-b? (1-x2/a2) c->F->dS->=??E( dQ/dx-dP/dy )d xdy =??E( -2 x y - 2x y)dxdy =??E( -4 xy)d xdy =-4?a-axdx?- b? (1-x2/a2)b? (1-x2/a2)ydy=-44?a-axdx [y2/2]- b? (1-x2/a2)b? (1-x2/a2)=0 24) ?c->x2y dx+ 3y2x dy =??R( 3 y2 -x2)dxdy =?12dx?12dy (3y2-x2) 25)i) c1{x=3-2t y=4-4t t€(0,1] dx=-2dt dy=-4dt} c2{x=1+4t dx=4dt y=-t dy=-dt} c3{x=5-2t dx=-2dt y=-y+5t dy=5dt} ?c 1(- ydx+xdy ) = ?01[-(4-4t)(-2)dt+(3-2t)(-4)dt] =?01( 8 - 8 t- 1 2 +8t )dt =?01-4dt =-4 ?c 2(- ydx+xdy ) = ?01[ t4dt+ ( 1+4 t)( - dt ) ] =?01( 4 t-1 -4 t)dt =?01( - 1) dt=- 1 ?c 3(- ydx+xdy ) = ?01[-( -1+5 t)(-2)dt+( 5 -2t) 5 dt] =?01( 0 - 2+10 t + 2 5-10 t)dt =?0123 dt= 23 A=??Rdxdy = 1/2?c ->(- ydx+xdy ) = 1/2[?c1+?c2+?c3]=1/2[-4-1+23]=9 ii) Área c1{x=3t dx=3dt t€[0,1] y=1-t dy=-dt} c2{x=3+t dx=dt y=3t dy=3dt} c3{x=4-3t dx=-3dt y=3-t dy=-dt} c4{x=1-t dx=-dt y=2-t dy=-dt} ?c 1(- ydx+xdy ) = ?01[-( 1 -t) 3 dt+3 t (-dt ) ] =?01( -3+3 t- 3 t )dt =?01- 3 dt =- 3 ?c 2(- ydx+xdy ) = ?01[- 3 tdt+(3 + t) 3 dt] =?01(- 3 t +9 + 3 t )dt =?019 dt = 9 ?c 3(- ydx+xdy ) = ?01[-( 3 -t)(- 3 )dt+( 4 - 3 t)(-dt ) ] =?01( 9-3 t- 4 + 3 t)dt =?015 dt = 5 ?c 4(- ydx+xdy ) = ?01[-( 2 -t)(-dt ) +( 1 -t)(-dt ) ] =?01( 2 -t-1+t )dt =?01dt = 1 A=1/2 c +(- ydx+xdy ) = 1/2[?c1+?c2+?c3+ ?c4]=1/2[- 3+9+5 + 1 ]= 12/2=6 iii) elipse -a2/a2+y2/b2=1 y= +- b? (1-x2/a2) dy-b1/2(1-x2/a2)-1/2(-1/a2)2xdx=bx dx /(a2? (1-x2/a2) ?c1(- ydx+xdy ) = ?-aa[b?(1-x2/a2)dx + bx2dx /(a2? (1-x2/a2)] =?-aabdx /? (1-x2/a2) [1+x2/a2] =?-aabdx /? ( a2-x2)[a2] = b/a?-aaa2dx /? ( a2-x2)={x/a=senteta a2 dx/a=a2costetadteta}=b/a?-aadx /? ( 1- x2/a2)= b/ a?- pi/2pi/2a2costeta d teta / costeta = ba2/a?-pi/2pi/2d teta =ba2pi/a=piab ?c 2(- ydx+xdy ) = ?a-a[ - b?(1-x2/a2)dx - bx2dx /(a2? (1-x2/a2)] = -?a-a[b?(1-x2/a2)dx + bx2dx /(a2? (1-x2/a2)] = ?a-abdx /? (1-x2/a2) [1+x2/a2] =?a-abdx /? ( a2-x2)[a2] = b/a?a-aa2dx /? ( a2-x2)={x/a=senteta a2 dx/a=a2costetadteta}=b/a?a-adx /? ( 1- x2/a2)= b/ a?pi/2-pi/2a2costeta d teta / costeta = ba2/a?pi/2-pi/2d teta=ba2pi/a=piab A=1/2 c +(- ydx+xdy ) = 1/2[?c1+?c2]=1/2(piab+piab)=piab iv) y=x3 y=? x c1{x=x dx=dx y=x3 dy=3x2dx x= 0 -> 1} c2{x=x dx=dx y=?x dy=1/2?x x=1->0} ?c 1(- ydx+xdy ) = ?01- x3dx+x 3 x2dx =?012x3d x = [x4/2]01= 1/2 ?c 2(- ydx+xdy ) = ?10-?x dx+ ( x /2?x )(?x /?x ) dx=?10-?x dx+?x dx/2= -1/2?10?xdx= 1/2.2/3. [x3/2]10= 1/ 3 A=1/2 c +(- ydx+xdy ) = 1/2[?c1+?c2]=1/2( 1/2-1/3)=1/2.5/6=5/12 v) r=3sen2teta 0c +(- ydx+xdy ) = 1/2 c +r2dteta=1/2?0pi/29 - sen22tetadteta ={2teta=t dteta=dt/2}=9/4?0pisen2tdt={1-cos2t/2} = 9/8?0pi(1-cos2t)dt = 9pi/8-9/16 [ sen2t ]0pi= 9pi/8
18) i) F->=(3x2yz+2xy)i+(x3z+x2+2yz)j+(x3y+y2+1)k c->=(cost,sent,t3) [0,pi] c(0)=(1,0,0) c(pi)=(-1,0,pi3) F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|=i(x3+2y-x3-2y)-j(3x2y-3x2y)+k(3x2z-3x2z )=0 Campo conservativo existe potencial F1=3x2y z +2xy =df/dx f=? ( 3x2y z +2xy )dx=x3yz+x2y+k1(y,z) F2=x3z+x2+2yz=df/dy = x3z+x2+dk1/dy dk1/dy=2yz k1 =? 2yzdy=y2z+k2(z) F3=x3y+y2+1=df/dz=x3y+y2+dk2/dz dk2/dz=1 k2=? 1dz=z+k3 Potencial final:f= x3yz+x2y + y2z +z+k3 para la integral de linea sustituir los valores del pto o vector en el potencial y tenemos el valor de esta ii) F->=(3x2yz2-2xy)i+(x3z2-x2+z3)j+(2x3yz+3z2y+senz)k F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|=i( 2 x3z + 3z2- 2 x3z - 3z2)-j( 6 x2y z - 6 x2y z )+k(3x2z2- 2x- 3x2z2+2x )=0 Campo conservativo existe potencial F1=3x2yz2-2xy=df/dx f=? ( 3x2yz2-2xy )dx=x3yz2-x2y +k1(y,z) F2= x3z - x2+z3=df/dy= x3z - x2 +dk1/dy dk1/dy=z3 k1=? z3dy=z3y+k2(z) f= x3yz2-x2y + z3y +k2(z) F3= 2x3yz+3z2y+senz =df/dz= 2x3yz+3z2y+ dk2/dz dk2/dz= senz k2=? senzdz=-cosz+k3 Potencial:f= x3yz2-x2y + z3y -cosz+k3 v) F->=ezi-cosxyj+z3yk F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|= i(z3-0)-j(0-ez)+k(ysenxy-0) distinto de 0 campo no conservativo no existe potencial ¡No intentar calcularlo xq salen incongruencias! 19) F->=(z3+2xy)i+x2j+3xz2k Demostrar que la integral de linea c->F->dS->= 0 a)Utilizando el potencial: c(0,0) z=0 F=0 Campo conservativo Potencial:f=xz3+x2y+k c->F->dS->= f(0,0,0)-f(0,0,0)=k-k=0 Calculando a mano:Circunferencia de centro C(1/2,1/2) y radio r=? 2/2 x=1/2+rcosteta dx=-rcosteta y=1/2+rsenteta dy=rcosteta F->=2xyi+x2j z=0 F(x,y,z)=[03+r(1/2+rcosteta)(1/2+rsenteta)]i+(1/2+rcosteta)2j+0k dS->=r(-sentetai+costetaj+0k) c->F->dS->=?02pi[r(-2)(1/2+rcosteta)(1/2+rsenteta)senteta+r(1/2+rcosteta)costeta]dteta=Tma Green{Q=x2 P=2xy dQ/dx-dP/dy}=??c(2x-2x)dxdy=0 {Pdx+Qdy} xq ? odx=k ?ab0dx=[k]ab=k-k=0 20) r->=xi+yj+zk r=||r->||=?(x2+y2+z2) F->=-GMm/r3r->=-GMm/r2ur-> F->=-GMm(r->/r3)=-GMm(x/r3,y/r3,z/r3) ur->=r->/r por comodidad para calcular el rotacional prescindimos de -GMm para no liarnos, pero el resultado será el mismo con -GMm Comprobar que F-> es un campo gradiente 1º Cálculo del rotacional dyz/r3=zdy(r-3)=zdy((x2+y2+z2)-3/2)=z(-3/2)(x2+y2+z2)-5/22y=-3zyr-5 d zy /r3= y d z (r-3)=zdy((x2+y2+z2)-3/2)= y (-3/2)(x2+y2+z2)-5/22 z =-3zyr F=|ijk,dxdydz,F1F2F3|= i(dyz/r3-dzr/r3)-j(dxz/r3-dzx/r3)+k(dxy/r3-dyx/r3)=0 F-> es un campo gradiente Cálculo del potencial: dxf=F1 f= ? F1dx= ? x/r3dx= ? x dx /( x2+y2+z2)3/2= ( x2+y2+z2)-1/2{d(x2+y2+z2)-1/2/dx=-1/ 2 (x2+y2+z2)-3/2x} =-1/ r +k1(y,z) =f dyf=dy[-( x2+y2+z2)-1/2] =1/ r [ x2+y2+z2]-3/2ry+dyk1=yr-3+dyk1=F2=y/r3 dyk1=0 k1=k(z) f=-1/r+k1(z) dzf=dz(1/r)+dz(k1)=3/r3+dzk1=F3=z/r3 dzk1=0 k1 es cte f=GMm/r+k1 W= ?c->F->dS->= f( r2->)-f( r1->)= GMm/r2-GMm/r1= mgh c-> va de r1->a r2-> r2=r1+h h<<