Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Sección 1: Relación entre Variables y Probabilidades

Covarianza: Indica la dirección del movimiento de dos variables. Si el resultado es positivo (+), se mueven hacia el mismo lado; si es negativo (-), se mueven en direcciones opuestas. En Excel se utiliza: COVAR(M1;M2).

Correlación (r): Mide tanto la dirección como la fuerza de la relación. Posee un rango estricto de -1 a 1. Un valor de 0 indica que no hay relación, mientras que 1 o -1 indica una relación casi perfecta o fuerte. En Excel se utiliza: COEF.DE.CORREL(M1;M2).

Determinación (r²): Su rango va de 0% a 100% (o de 0 a 1). El r² más alto siempre es el que mejor explica el comportamiento de los datos.

3. Probabilidades en Tablas Bidimensionales

• Simple: Se obtiene de un dato marginal

Fórmulas Fundamentales y Factorización

Identidades Notables

Estas fórmulas son cruciales para la expansión y factorización de polinomios:

• (1) Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (2) Cuadrado de una diferencia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (3) Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
• (4) Cubo de una suma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (5) Cubo de una diferencia: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Paso Previo Esencial

Operación básica antes de cualquier procedimiento: aplicar el Factor Común si existe.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

El objetivo es simplificar la expresión al máximo.

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.
2. Cancela factores comunes (nunca términos sumados o restados).
3. Simplifica

Vectores en el Espacio

Vector director de la recta (u) / vector normal del plano (v).

Misma dirección implica que son paralelos; si son ortogonales, son perpendiculares.

Distancia entre dos puntos

Distancia entre 2 puntos: D(A,B) = |AB→|. Calculamos el vector AB→ y su módulo.

Posiciones relativas de dos rectas

Para determinar la posición, se analizan los puntos P y Q y los vectores u y v de cada recta. Se construye el vector PQ y se estudia el rango de la matriz (coeficientes y ampliada). Si es secante: se utilizan las formas paramétricas igualando cada ecuación para hallar el parámetro lambda o u; finalmente, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para obtener el punto de corte con coordenadas (x, y, z).

Ecuación del plano

Antes de... Continuar leyendo "Geometría Analítica en el Espacio: Rectas y Planos" »

Proposiciones Lógicas

Ejemplos de Proposiciones Lógicas Simples y Compuestas

• Soy minero: Es una proposición lógica simple.
• La luna en el mar riela: No es una proposición lógica.
• El pueblo unido jamás será vencido: No es una proposición lógica.
• No debía quererte y sin embargo te quiero: Es una proposición lógica compuesta.
• El tiempo lo cura todo: No es una proposición lógica.
• Lo que el viento se llevó: No es una proposición lógica.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas con Conectores

• Ni te tengo ni te olvido: (¬p)∧(¬q)
• No firmo el documento sin haberlo leído: ¬(p∧¬q)
• Si te he visto no me acuerdo: p→¬q
• Si prometes y no das mal vas: (p∧¬q)→r
• Cuando marzo mayea, mayo marcea: p→q
• Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú:

Método de Euler

Se tiene una ecuación diferencial de primer orden y' = f(x, y), en donde y' es función tanto de la variable independiente x como de la variable dependiente y; por lo tanto, no es posible integrar directamente la misma. La solución de la ecuación está dada por y = y(x). Puede escribirse: y' = f(x, y) = f[x, y(x)] = F(x).

Se conoce un valor inicial (x₀, y₀), lo que posibilita determinar el valor inicial de y', resultando: y'₀ = f(x₀, y₀). La variación de la función y, desde x = x₀ hasta x = x₀ + h, se representa mediante el área bajo la curva y', entre x₀ y x₀ + h; lo cual puede verse integrando la función original para el subintervalo (x₀, x₁):

Donde los primeros miembros representan los valores exactos y los segundos,... Continuar leyendo "Fundamentos de los Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" »

Contrastes T en un modelo lineal uniecuacional

Para desarrollar la presente cuestión, abordaremos una serie de puntos fundamentales:

1. Especificación y estimación del modelo

Realizamos un estudio sobre la muestra de una población, estableciendo objetivos claros:

• Especificación: donde las variables predeterminadas X explican o determinan una variable endógena.
• Estimación de parámetros.
• Validación de modelos estimados: realizada mediante la medida del grado de ajuste, el análisis de los residuos y el coeficiente de determinación.

2. Formulación de hipótesis

En este paso, establecemos las hipótesis sobre las que consideramos que se puede estimar la muestra:

• H0: β = 0
• H1: β ≠ 0

Si aceptamos H0, se elimina xj como variable explicativa de... Continuar leyendo "Fundamentos de los Contrastes T en Modelos Lineales Uniecuacionales" »

Exercici 1 (3 punts)

Apartat a) Temps de cicle i producció horària (Activitat 133)

1) Passar de TN a TS (activitat normal, An = 100)

• TSa (exteriors) = 27 · 1,10 = 29,70 min
• TSb (interiors) = 12 · 1,10 = 13,20 min

Com que TSb = 13,20 < Tm = 25, les operacions interiors queden dins del temps de màquina.

2) Temps de cicle i producció horària (normal)

• Tc normal = TSa + Tm = 29,70 + 25 = 54,70 min
• PH normal = 60 / 54,70 ≈ 1,10 ud/h

3) Cas òptim (activitat exigible Ae = 133)

• TSa(133) = 29,70 · (100/133) ≈ 22,33 min
• Tc òptim = 22,33 + 25 = 47,33 min
• PH òptim = 60 / 47,33 ≈ 1,27 ud/h

Apartat b) Nou Tc (normal i òptim) i % increment de producció horària

Càlculs basats en l'operació:

• TN operació = ∑(TR·FA·n) / n = 16432,75 / 30 = 547,7583

Contraste de Hipótesis para Proporciones

a) Estimación y Planteamiento

Se tiene un total de n = 150 estudiantes, de los cuales x = 24 son zurdos. La proporción muestral (estimación de p) es:

p̂ = x / n = 24 / 150 = 0.16

Dado que la proporción muestral calculada es mayor que 0.1, planteamos las hipótesis:

• H₀: p = 0.1
• H₁: p > 0.1

El código en Python para realizar este contraste es:

st.binomtest(k=24, n=150, p=0.1, alternative="greater")

b) Interpretación del P-valor

El p-valor de 0.0143 indica la probabilidad de que 24 o más estudiantes de 150 sean zurdos, asumiendo que el porcentaje real en la población fuera del 10% (hipótesis nula). Para este cálculo, definimos la variable aleatoria X como el número de zurdos entre 150 estudiantes:... Continuar leyendo "Contraste de Hipótesis para Proporciones: Aplicación Práctica en Python" »

Notaciones Generales

• Población: Conjunto de todos los elementos objeto de estudio.
• Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
• Muestra: Subconjunto de la población.
• Carácter: Cada uno de los aspectos a estudiar.
• Variable: Aquella que recorre todos los valores de un carácter.
  • Cuantitativa: Toma valores numéricos. Puede ser discreta (toma valores aislados, sin decimales) o continua (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, con decimales).
  • Cualitativa: Nunca toma valores numéricos.

Tipos de Estadística

• La estadística descriptiva expone y analiza caracteres de individuos de una población sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
• La estadística inferencial trabaja con muestras y a partir de ellas extrae conclusiones para

La Regla de Oro de la Significación (El valor p)

• p ≤ 0.05 → ¡SÍ PASA ALGO! Hay diferencias, hay relación, el tratamiento funciona, etc. (Rechazo H₀).
• p > 0.05 → ¡NO PASA NADA! Los grupos son iguales, no hay efecto, todo se debe al azar. (Acepto H₀).

1. El Supuesto de Normalidad (Shapiro-Wilk)

¿Qué es? Saber si los datos forman una Campana de Gauss perfecta (donde Media = Mediana = Moda).

Criterio Invertido (¡OJO!): Aquí buscamos que sea mayor de 0.05 para que el modelo sea correcto.

• p > 0.05 → SÍ hay Normalidad → Se usan Pruebas Paramétricas (Student, ANOVA).
• p ≤ 0.05 → NO hay Normalidad → Se usan Pruebas No Paramétricas (Wilcoxon, Mann-Whitney, Kruskal-Wallis).

2. Comparación de Grupos (Contraste de Medias)

A. Independent