Geometría Analítica en el Espacio: Rectas y Planos

Vectores en el Espacio

Vector director de la recta (u) / vector normal del plano (v).

Misma dirección implica que son paralelos; si son ortogonales, son perpendiculares.

Distancia entre dos puntos

Distancia entre 2 puntos: D(A,B) = |AB→|. Calculamos el vector AB→ y su módulo.

Posiciones relativas de dos rectas

Para determinar la posición, se analizan los puntos P y Q y los vectores u y v de cada recta. Se construye el vector PQ y se estudia el rango de la matriz (coeficientes y ampliada). Si es secante: se utilizan las formas paramétricas igualando cada ecuación para hallar el parámetro lambda o u; finalmente, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para obtener el punto de corte con coordenadas (x, y, z).

Ecuación del plano

Antes de realizar la ecuación, es fundamental comprobar que los vectores u y v no son paralelos mediante la proporcionalidad de sus componentes.

Posiciones relativas de planos

Posiciones relativas de dos planos

Se extrae el vector normal de cada plano y se comparan sus coeficientes. Se determina si son coincidentes, paralelos o secantes. En caso de ser secantes, la recta donde se cortan se expresa como el sistema formado por las ecuaciones de los planos alfa y beta.

Posiciones relativas de tres planos

Se analiza la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M̄). Se estudia la posición relativa de los planos dos a dos (plano 1 y p2; p2 y p3; p1 y p3) y se aplican los rangos según el Teorema de Rouché-Frobenius:

• R(M) = R(M̄) = 3 (nº incógnitas): Sistema Compatible Determinado (SCD). Los tres planos se cortan en un punto único (calculado por la Regla de Cramer).
• R(M) = 2 ≠ R(M̄) = 3: Sistema Incompatible (SI). Los tres planos se cortan dos a dos o dos son paralelos y el tercero los corta.
• R(M) = 2, R(M̄) = 2 < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Se cortan en una recta o dos coinciden y el tercero los corta.
• R(M) = 1 ≠ R(M̄) = 2: Sistema Incompatible (SI). Planos paralelos o dos coinciden y el tercero es paralelo.
• R(M) = 1, R(M̄) = 1 < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Los tres planos son coincidentes.

Posición relativa de una recta y un plano

Se recomienda expresar la recta en cualquier forma menos la general. Se extrae el vector director de la recta (u) y el vector normal del plano (v) para realizar el producto escalar (u·v).

• Si el producto es igual a 0 (contenida o paralela): Sacamos un punto de la recta y lo sustituimos en la ecuación del plano (α/β). Si se verifica la igualdad, la recta está contenida en el plano; si no se verifica, la recta y el plano son paralelos.
• Si el producto es distinto de 0 (secantes): La recta y el plano se cortan en un punto. Calculamos el punto de corte sustituyendo la ecuación paramétrica de la recta en la del plano para hallar λ; luego, sustituimos el valor de λ en la recta para obtener el punto.

Casos prácticos de ecuaciones del plano

Ecuación general del plano: π: Ax + By + Cz + D = 0

1) Plano que pasa por un punto y contiene una recta

Tomamos un punto P del plano buscado. Como la recta R está contenida en el plano, extraemos de R un punto Q y un vector director u. Construimos el vector PQ. Comprobamos que u y PQ no son paralelos. Calculamos el vector normal n = u × PQ. Sustituimos P en la ecuación del plano para hallar D.

2) Plano que contiene dos rectas secantes

Las rectas r y s están contenidas en el plano. Extraemos un punto P y un vector u de r, y un vector v de s. Comprobamos que u y v no son paralelos. Calculamos el vector normal n = u × v. Sustituimos P en la ecuación obtenida para hallar D.

3) Plano que contiene dos rectas paralelas

De la recta r extraemos el punto P y el vector u. De la recta s extraemos un punto Q. Construimos el vector PQ. Comprobamos que u y PQ no son paralelos. Calculamos n = u × PQ y sustituimos P para hallar D.

4) Plano que contiene una recta y es paralelo a otra

De la recta R extraemos el punto P y el vector u. De la recta S extraemos un vector v. Comprobamos que u y v no son paralelos. Calculamos el vector normal n = u × v y sustituimos P para hallar D.

5) Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta

El vector director de la recta coincide con el vector normal del plano. Si la recta se presenta como intersección de planos, la pasamos a forma paramétrica para obtener el vector director u (donde u = n). Sustituimos el punto P en la ecuación general para hallar D.

6) Plano que contiene una recta y es perpendicular a otro plano

De la recta R extraemos el punto P y el vector u. El vector normal del plano dado (v) es paralelo al plano buscado. Comprobamos que u y v no son paralelos. Calculamos el vector normal mediante el producto vectorial n = u × v. Sustituimos P para hallar D.