Proposiciones Lógicas, Conjuntos y Aplicaciones: Ejercicios Resueltos

Proposiciones Lógicas

Ejemplos de Proposiciones Lógicas Simples y Compuestas

• Soy minero: Es una proposición lógica simple.
• La luna en el mar riela: No es una proposición lógica.
• El pueblo unido jamás será vencido: No es una proposición lógica.
• No debía quererte y sin embargo te quiero: Es una proposición lógica compuesta.
• El tiempo lo cura todo: No es una proposición lógica.
• Lo que el viento se llevó: No es una proposición lógica.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas con Conectores

• Ni te tengo ni te olvido: (¬p)∧(¬q)
• No firmo el documento sin haberlo leído: ¬(p∧¬q)
• Si te he visto no me acuerdo: p→¬q
• Si prometes y no das mal vas: (p∧¬q)→r
• Cuando marzo mayea, mayo marcea: p→q
• Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú: (p→r)∧(q→s)
• Siempre que llueve escampa: p→q
• Quien siembra, recoge tempestad: p→q
• El que no arriesga no cruza la mar: ¬p→¬q

Ejercicios de Evaluación de Proposiciones Lógicas

• Si ¬q es falsa, (¬p)∨q es: Verdadera
• Si p es falsa, entonces (¬p)∧q es: Verdadera o falsa según el valor de q.
• Si ¬q es verdadera, entonces ¬(p∨¬q) es: Falsa
• Si p es verdadera, entonces (q∨¬p)∧(p∨¬q) es: Verdadera o falsa según el valor de q.
• La proposición ¬(p∨¬p) es: Falsa
• p∨¬q es falsa cuando: p es falsa y q es verdadera.
• Si p es verdadera, la proposición (¬p)→q es: Verdadera
• Si p es verdadera, la proposición p→(p∨q) es: Verdadera
• Si p es falsa, la proposición (p∨q)→(p∧q) es: Verdadera o falsa según el valor de q.
• Si p es verdadera, la proposición (p∨q)→¬p es: Falsa
• La proposición p→¬p es: Verdadera si p es falsa.
• La proposición (q∧¬q)→(p∧q) es: Verdadera siempre.
• Si p→(q∨¬p) es una proposición falsa, es porque: p es verdadera y q es falsa.
• Si p∧(q→p) es una proposición verdadera, entonces: p es verdadera.
• La proposición p→(q→p) es una proposición verdadera: Cualquiera que sean p y q.

Lógica y Argumentos

• Si los triángulos S y T tienen sus ángulos iguales, son iguales: Sería una falacia, aunque la primera premisa fuese cierta.
• Si París no está en Francia, está en España: Es lógicamente válido.
• Los domingos voy al campo o de compras: Es una falacia.
• Un amigo marciano; en Marte nunca llueve: Es una falacia.
• Si voy al cine, entonces no voy al teatro: Es una falacia.
• Marx, Engels: Es válido, del modus ponens.

Teoría de Conjuntos

Ejercicios de Pertenencia y Contención

• Si A es el conjunto de las vocales, se cumple: u∈A
• Si A es el conjunto de los siete enanitos, entonces: "Naranja" no pertenece al conjunto.
• Si A es el conjunto de los animales vertebrados, entonces: "Cangrejo" pertenece al conjunto.
• El conjunto A = {domingos de 2010} está definido: Por descripción.
• Si A y B son conjuntos tales que si x∈A, entonces x∈B, entonces: A⊂B
• Si M y N son conjuntos tales que si a∉M, entonces a∉N, entonces: N⊂M
• Si F y D son los conjuntos de días festivos y días de diario respectivamente, entonces: D⊂F^c
• Para cualquier conjunto A, se cumple: ∅⊂A
• Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 2, 1}, entonces: A = B
• Si A = {1, 2, 3} y P(A) es el conjunto de las partes de A, entonces: {1, 2}∈P(A)
• Si A es el conjunto de las vocales y P(A) es el conjunto de las partes de A, entonces: {{a, e}, {a, i}}⊂P(A)
• Si un conjunto A tiene 6 elementos, entonces el conjunto de las partes de A, P(A), tiene: 64 elementos.
• Si A es el conjunto de los números pares y B es el conjunto de los números múltiplos de 10, entonces: B⊂A
• Si A es el conjunto de comunidades autónomas españolas, entonces: {Galicia, Cantabria}⊂A

Ejercicios de Operaciones con Conjuntos

• Si A y B son conjuntos disjuntos, no es correcto afirmar: Si a∉A, entonces a∈B
• Dados dos conjuntos A y B, si x∈A∪B, entonces: x∈A o x∈B
• Si dos conjuntos A y B verifican A∪B = U, entonces: A^c⊂B y B^c⊂A
• Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂B, entonces: B^c⊂A^c
• Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂B^c, no es correcto afirmar: A∪B = U
• Si A y B son dos conjuntos tales que A∪B^c = U, entonces: B⊂A
• Si A y B son dos conjuntos, (A - B)^c es igual a: A^c∪B
• Si A y B son dos conjuntos tales que A∪B^c = B, entonces: A = B = U
• Si A y B son dos conjuntos tales que (A - B)^c = B, entonces: B^c⊂A
• Si A y B son dos conjuntos tales que (A∪B)^c = A, entonces: A = ∅ y B = U
• Si A y B son dos conjuntos tales que (A∩B)^c⊂B, entonces: B = U
• Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (A^c - B^c)^c es igual a: A∪B^c
• Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∩(B∪A^c) es igual a: A∩B
• Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (A^c∪B^c)∩A es igual a: A - B
• Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∪(B^c∩A) es igual a: A
• Si A y B son dos conjuntos que cumplen B - A = B, entonces: A - B = A

Propiedades de las Operaciones con Conjuntos

• La propiedad de idempotencia de la intersección de conjuntos establece que: A∩A = A
• La propiedad asociativa de la intersección de conjuntos establece que: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
• La propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección de conjuntos establece que: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
• La propiedad conmutativa de la unión de conjuntos establece que: A∪B = B∪A
• Entre tres conjuntos A, B y C, si B⊂C, entonces: A∩B⊂A∩C
• Las leyes de Morgan establecen que: (A∩B)^c = A^c∪B^c y (A∪B)^c = A^c∩B^c
• Si dos conjuntos A y B verifican (A∩B)^c = A^c∪B^c, entonces: Se cumple siempre por las leyes de Morgan.
• Si dos conjuntos A y B verifican (A∪B) - (A∩B) = (A - B)∪(B - A), entonces: Se cumple siempre.
• Si dos conjuntos A y B verifican A - B = B - A, entonces: A = B
• Si dos conjuntos A y B cumplen que A - B = ∅, entonces: A⊂B

Aplicaciones

Ejercicios de Aplicaciones entre Conjuntos

• En el conjunto de palabras del diccionario, la aplicación f que asigna a cada palabra el número de letras que tiene, por ejemplo, f(cinco) = 5, entonces: Es una aplicación.
• Para ordenar en orden alfabético las palabras del diccionario, se considera la aplicación que asigna a cada palabra la posición que ocupa en el diccionario, por ejemplo, la imagen de "cuatro" es 2 y la preimagen de 1 es "cinco", entonces: Es una aplicación.
• Se considera la abreviatura de cada palabra del diccionario, por ejemplo, "ar" tiene como preimagen "arma", entonces: Es una aplicación.
• La abreviatura de las palabras del diccionario definida por sus dos primeras letras, por ejemplo, "arma" se abrevia como "ar", es una aplicación: No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.
• La abreviatura de las palabras del diccionario de más de dos letras definida por sus dos primeras letras, por ejemplo, "arma" se abrevia como "ar", es una aplicación: No, porque hay palabras distintas con la misma abreviatura.
• Asignar a cada número del conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} el número de cifras que tiene, por ejemplo, f(10) = 2, entonces: Es una aplicación.
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, por ejemplo, la imagen de 11 es 2 y una preimagen de 7 es 52, entonces: Es una aplicación.
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, por ejemplo, s(12) = 3, es inyectiva: No, porque s(12) = s(21) = 3.
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, entonces: s(2, 10, 11, 100, 101) = {2, 1, 2, 1, 2}
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, entonces: s^-1({1}) = {1, 10, 100, 1000, ...} = {10^k | k∈N}
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras: Es sobreyectiva.
• La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras: No es biyectiva, porque no es inyectiva.
• Asignar a cada número del conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} el número que resulta de sumarle 5, por ejemplo, f(2) = 7, entonces: Es una aplicación.
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, por ejemplo, la preimagen de 7 es 2 y la imagen de 5 es 10, entonces: Es una aplicación.
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: Es inyectiva, porque no coinciden las imágenes de elementos distintos.
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: No es sobreyectiva, porque hay números en N que no son imagen de ningún elemento, por ejemplo, {0, 1, 2, 3, 4}.
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, entonces: f(2, 4, 10) = {7, 9, 15}
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, entonces: f^-1(10, 15, 22) = {5, 10, 17}
• La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: No es biyectiva, porque no es sobreyectiva.
• Si f es la aplicación f: N→N que asigna a cada número natural la suma de sus cifras y s es la aplicación s: N→N que asigna a cada número natural la suma de sus cifras, se cumple: s(f(15)) = s(6) = 6
• Si f es la aplicación f: N→N que asigna a cada número natural n∈N el resultado de sumarle 5 y g = f o f es la composición de f consigo misma, se cumple: g(3) = f(f(3)) = f(8) = 13