Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Algoritmos para el trazado de líneas rectas

En la computación gráfica, trazar una línea recta consiste en calcular las coordenadas enteras de los píxeles que forman parte de la línea o que se encuentran más cerca de ella. A continuación se presentan tres implementaciones clásicas: el algoritmo básico, el algoritmo DDA (Digital Differential Analyzer) y el algoritmo de Bresenham.

1. Algoritmo básico

Este método calcula la pendiente M y la ordenada al origen B de la recta, y en cada iteración obtiene el valor de Y a partir de la ecuación Y = M·X + B. Cuando la recta es vertical (Dx = 0), se recorre directamente el eje Y.

void Basico(int X1, int Y1, int X2, int Y2)
{
    int i, X;
    float Y;
    float Dx, Dy, M, B;

    Dy = Y2 - Y1;

Inferencia Estadística: Conceptos Fundamentales y Métodos de Muestreo

Introducción a la Inferencia Estadística

La inferencia estadística es una rama de la estadística que se encarga de hacer deducciones sobre una población a partir de una muestra de datos. Para ello, el proceso de muestreo es crucial.

Conceptos Clave

• Muestreo: Proceso de extracción de una muestra representativa de una población.
• Distribución Muestral de un Estadístico: Describe la distribución de probabilidad de un estadístico (como la media o la proporción) calculado a partir de múltiples muestras de la misma población.
• Principales Distribuciones Muestrales: Incluyen la distribución normal, t-Student, chi-cuadrado y F, fundamentales para la inferencia.

Definición

Método Directo

El método directo se fundamenta en los siguientes pasos:

1. La columna de días recoge el número de días desde cada fecha de vencimiento hasta la fecha de liquidación.
2. Calcular los números comerciales y las sumas parciales de las cuantías y de los números.
3. Calcular el saldo de números (diferencia entre la suma de los números del debe y la suma de los números del haber). Si el saldo es a favor del debe, se anotará en la columna del haber, o viceversa, para igualar ambas columnas.
4. Calcular los intereses. Si la suma de los números del debe es mayor, los intereses serán deudores; serán acreedores en caso contrario, es decir, si la suma de los números del haber fuera mayor que la del debe. Se obtiene dividiendo el saldo de

Conducción del Calor

Introducción

La temperatura es una magnitud física cuya unidad es el grado, pero el valor de esta unidad varía en función de la escala (Celsius, Fahrenheit, Réaumur). Posteriormente, se eligió como escala absoluta el Kelvin.

Principios Fundamentales

1. La temperatura es una magnitud escalar. En cada punto, será función de sus coordenadas de posición y del tiempo. En un espacio tridimensional podemos definir el gradiente de la temperatura: grad Θ = ∂Θ/∂x i + ... Este vector nos da el desnivel térmico en cada punto del campo. El calor ni se crea ni se destruye, se transforma.

2. Si una sustancia intercambia calor, su temperatura varía. Si dos sustancias que reciben calor experimentan diferentes variaciones, es necesario

Parámetros Fundamentales en Maquinaria de Fluidos

A continuación, se presentan los parámetros y fórmulas clave utilizados en el cálculo y diseño de turbomáquinas hidráulicas, incluyendo turbinas, bombas y ventiladores.

Propiedades del Agua y Líquidos

• Densidad relativa (s): s = 1 (para agua)
• Viscosidad dinámica (μ): μ = 1.2e-3 N·s/m² (para agua, valor de ejemplo)
• Densidad (ρ): ρ = 1000 kg/m³ (para agua). Para otros líquidos, ρ = ...e3 kg/m³
• Peso específico (γ): γ = ρ * g = 9.8e3 N/m³ (para agua, asumiendo g=9.8 m/s²)
• Aceleración de la gravedad (g): g = 9.8 m/s²
• Conversión de volumen: 1 Litro = 0.001 m³

Definiciones de Variables Clave

• Altura neta efectiva (H*): H* = H - (h_f + h_boq), donde h_f es la pérdida de carga por fricción

Medidas de Posición y Tendencia Central

Media en xi-Md: orden de –a+ el del medio o media de los del medio.

Si están agrupados:

• $Li = \text{está en } na = \text{ó} + a \cdot n/2$
• Percentil ($Li = n \times k / 100$ fila $na$)
• $N^\circ$ ($Li$ es el valor y está en $Xi$)

Medidas de Dispersión y Asimetría

Desviación Típica (Dt): $Sx$ shift 8, varianza shift raíz (con la Dt metida). Cuasi shift 9.

• Puntuación típica: media es $x/n$.
• Propiedades de varianza y Dt: Necesita todas las puntuaciones miden la variabilidad de los datos respecto a la media = $s$ ó $+ k \geq 0$, si $0 =$ a la media.
• Si se suma o resta una constante, siguen igual.
• Si se multiplica por una constante $B$, la varianza = $-la$ constante al cuadrado y la Dt por el valor absoluto

Técnicas de Muestreo Estadístico

Existen dos métodos principales para seleccionar muestras de poblaciones: el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio, que incorpora el azar en el proceso de selección.

Muestreo Probabilístico

El muestreo probabilístico se caracteriza porque todos los elementos de la población tienen una probabilidad conocida de ser incluidos en la muestra. Dentro de este tipo, encontramos:

Muestreo con y sin reposición

• Sin reposición: Cada elemento extraído se descarta para la siguiente extracción. Por ejemplo, al medir la vida útil de una ampolleta, esta solo puede ser medida una vez.
• Con reposición: Los elementos se reincorporan a la población después de cada extracción, manteniendo la población

Dv9.- Divisibilidad por 11 en números de cuatro cifras

Si un número natural M de cuatro cifras se escribe M = aabb, probar que es divisible por 11. ¿Qué valores pueden tomar a y b para que 11² sea divisor de M?

Solución

M = aabb = 1000 · a + 100 · a + 10 · b + b = (1100 · a + 11 · b) = 11 · (100 · a + b).

Por tanto, M es múltiplo de 11 cualesquiera sean los valores de las cifras a y b.

Si queremos que aabb sea divisible por 11², entonces también ha de ser divisible por 11 la expresión 100 · a + b. Podemos escribirla de la siguiente forma: 99 · a + a + b.

Como 99 · a es múltiplo de 11, es necesario que la suma a + b sea múltiplo de 11.

Por tanto, los valores que pueden tomar son:

• a = 2 y b = 9
• a = 3 y b = 8
• a = 4 y b = 7
• a = 5 y b =

Operaciones Elementales por Fila

Sea A ∈ K^m×n, una operación elemental por fila en la matriz A es cualquiera de los tres tipos de operaciones siguientes:

• Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
• Intercambiar dos filas de la matriz A (permutación de filas).
• Sumar a una fila de A otra fila multiplicada por un escalar.

Matriz Escalonada por Filas

Una matriz A ∈ K^m×n es una matriz escalonada por filas si cumple con:

• El primer elemento no nulo de cada fila no nula de A (llamado pivote) es 1.
• El pivote de cada fila no nula está a la derecha del pivote de la fila superior.
• Todas las filas compuestas enteramente de ceros (si las hay) están en la parte inferior de la matriz.
• Todos los elementos en la columna debajo de un pivote son cero.

Matriz Escalonada

Predicciones en Modelos de Regresión

Las predicciones consisten en obtener estimaciones relativas a los cambios experimentados por ciertas variables (endógenas) dada información adicional sobre el comportamiento de otras variables.

Tipos de Predicciones

• Ex-Ante: Se conocen con certidumbre las observaciones de las variables explicativas (datos existentes).
• Ex-Post: Utiliza variables explicativas que pueden ser o no conocidas.

Predicción Puntual

Está dada por Y_f = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + β_kX_k → Y_f = c´β → predictor óptimo de E(Y_f) donde (F)c´ = [1 X₁ X₂ X₃ ... X_kf]

Violación de Supuestos en Modelos de Regresión

¿Cómo saber si se ha violado algún supuesto?

• Analizar los errores (deben ser ruido blanco o no correlacionados).
• Los parámetros