Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Dv9.- Divisibilidad por 11 en números de cuatro cifras

Si un número natural M de cuatro cifras se escribe M = aabb, probar que es divisible por 11. ¿Qué valores pueden tomar a y b para que 11² sea divisor de M?

Solución

M = aabb = 1000 · a + 100 · a + 10 · b + b = (1100 · a + 11 · b) = 11 · (100 · a + b).

Por tanto, M es múltiplo de 11 cualesquiera sean los valores de las cifras a y b.

Si queremos que aabb sea divisible por 11², entonces también ha de ser divisible por 11 la expresión 100 · a + b. Podemos escribirla de la siguiente forma: 99 · a + a + b.

Como 99 · a es múltiplo de 11, es necesario que la suma a + b sea múltiplo de 11.

Por tanto, los valores que pueden tomar son:

• a = 2 y b = 9
• a = 3 y b = 8
• a = 4 y b = 7
• a = 5 y b =

Operaciones Elementales por Fila

Sea A ∈ K^m×n, una operación elemental por fila en la matriz A es cualquiera de los tres tipos de operaciones siguientes:

• Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
• Intercambiar dos filas de la matriz A (permutación de filas).
• Sumar a una fila de A otra fila multiplicada por un escalar.

Matriz Escalonada por Filas

Una matriz A ∈ K^m×n es una matriz escalonada por filas si cumple con:

• El primer elemento no nulo de cada fila no nula de A (llamado pivote) es 1.
• El pivote de cada fila no nula está a la derecha del pivote de la fila superior.
• Todas las filas compuestas enteramente de ceros (si las hay) están en la parte inferior de la matriz.
• Todos los elementos en la columna debajo de un pivote son cero.

Matriz Escalonada

Predicciones en Modelos de Regresión

Las predicciones consisten en obtener estimaciones relativas a los cambios experimentados por ciertas variables (endógenas) dada información adicional sobre el comportamiento de otras variables.

Tipos de Predicciones

• Ex-Ante: Se conocen con certidumbre las observaciones de las variables explicativas (datos existentes).
• Ex-Post: Utiliza variables explicativas que pueden ser o no conocidas.

Predicción Puntual

Está dada por Y_f = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + β_kX_k → Y_f = c´β → predictor óptimo de E(Y_f) donde (F)c´ = [1 X₁ X₂ X₃ ... X_kf]

Violación de Supuestos en Modelos de Regresión

¿Cómo saber si se ha violado algún supuesto?

• Analizar los errores (deben ser ruido blanco o no correlacionados).
• Los parámetros

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones Diferenciales

Definiciones Clave

Ecuación diferencial: Es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ecuación diferencial que contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a una sola variable.

Ecuación en derivadas parciales (EDP): Ecuación diferencial que posee una o más derivadas de una función desconocida con respecto a dos o más variables.

Tipos de Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Solución de una ecuación diferencial: Se puede definir como toda función que satisface la ecuación, es decir, que al sustituirla la reduce a una identidad.

• Solución Explícita:

Conceptos Básicos de Estadística

• La Estadística es la ciencia que se encarga de elaborar métodos, técnicas y procedimientos que permiten al investigador obtener datos estadísticos para generar información y, de esta manera, tomar decisiones.

• La Población es el conjunto total de elementos o individuos sobre los cuales se realiza un estudio.

• La Muestra es una parte o subconjunto representativo de la población. (Nota: Este documento se enfoca en el trabajo con muestras).

Variables Estadísticas

Las Variables son las características o atributos que se desean investigar, y de las cuales se obtienen datos relevantes para el estudio.

• Cualitativas: Se miden con palabras o categorías (ej., color, género, estado civil).

• Cuantitativas: Se expresan

Cuestionario sobre Fotogrametría

1. Relaciona los siguientes conceptos:

• APLANAMIENTO → Plano focal.
• CCD → ((Ni plano focal, ni IMAGEN))
• CHASIS → ((Ni plano focal, ni CONO))
• TDI → ((Ni plano focal, ni FMC/TDI/IMC))
• FILTRO → ((Ni plano focal, ni CANALES))

2. Concepto de desplazamiento debido al relieve:

• Un objeto situado por debajo del nivel del mar genera un desplazamiento negativo.
• Un objeto de mayor altura genera una magnitud menor del desplazamiento.
• Un objeto situado por debajo del nivel del mar genera un desplazamiento absoluto.
• Un objeto de altura mayor genera una magnitud mayor del desplazamiento.

3. Relaciona los siguientes conceptos:

• Retina → Sensor.
• Objetivo → Cristalino.
• Resolución → Conos.
• Córnea → Lente.
• Diafragma → Iris.

4.

Subespacio Vectorial

Sea H un subconjunto de E, lo que significa que está contenido o es igual a E. Decimos que H es subespacio vectorial de E si y solo si:

• Tiene el elemento 0.
• Tiene que cumplir simultáneamente:
  • Para cualesquiera 2 vectores v1 y v2 pertenecientes a H, v1+v2 también tiene que pertenecer a H.
  • Para cualquier vector v1 perteneciente a H y para cualquier número real k, kv1 tiene que pertenecer a H.

Ejemplos de lo que NO son subespacios vectoriales:

• Números sueltos, potencias.
• Teniendo vector u=(x,y), no es subespacio vectorial xy+x=0 (producto de 2 coordenadas).
• Logaritmos, etc. (cosas raras).

Ejemplos de lo que SÍ son subespacios vectoriales:

• ax+by+cz=0
• c1x + c2y = 0

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea una aplicación lineal... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial" »

Mesures de Dispersió i Variabilitat Estadística

El Coeficient de Variació (C.V.)

El Coeficient de Variació, representat com a C.V., és una mesura relativa de variabilitat que es defineix mitjançant la següent fórmula:

C.V. = s / x̅ (on s és la desviació estàndard i x̅ és la mitjana aritmètica).

Aquesta mesura serveix per fer comparacions de la representativitat de les mitjanes quan es treballa amb distribucions de variables mesurades en diferents classes d’unitats. Això és possible gràcies al fet que el coeficient de variació no té unitats.

El coeficient de variació indica el nombre de vegades que la desviació estàndard conté la mitjana. Com més gran sigui el coeficient de variació, més vegades estarà continguda la... Continuar leyendo "Mesures de Dispersió i Classificació de Variables Estadístiques" »

Estadística: Conceptos Fundamentales

Todo estudio estadístico se refiere a un conjunto de elementos denominado población. Cuando la población es muy grande y el objetivo es centrarse en una parte de ella, se toma una muestra. Esta muestra puede ser representativa de la población o tratarse de un estudio parcial.

Tipos de Afijación en Muestras Representativas

La muestra representativa se puede analizar bajo dos aspectos:

• Afijación Igual: Se toman muestras de los estratos de la población con el mismo número de elementos.
• Afijación Proporcional: La muestra representativa se toma de forma proporcional a los elementos de cada estrato.

Caracteres de los Elementos de la Población

Llamamos carácter de los elementos de la población a las cualidades... Continuar leyendo "Estadística Básica: Conceptos Clave y Representación Gráfica de Datos" »