Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

**Interpretación de Resultados Óptimos**

1. Para lograr una utilidad máxima de $3942, se deben fabricar 8,57 discos tipo 1 y 17,14 discos tipo 2. Esto utilizaría 6 horas del departamento 2 y cumpliría con la restricción de que al hacer un disco tipo 2, se fabriquen a lo sumo 2 tipo 1. Esto indica que hay una holgura de 0 horas en el departamento 1.

2. Para lograr un costo mínimo de $136000, se debe trabajar 18 horas en la Planta A y 26 horas en la B. Esto creará una demanda de $$ colchones matrimoniales, $$ de king-size y $$ de individuales. Dando como resultado un excedente de 4600 unidades matrimoniales y una holgura de 12 días de operación en la planta A y 6 días en la B.

**Traslación de Rectas**

Se trasladan las rectas al punto... Continuar leyendo "Optimización Lineal: Interpretación de Resultados y Análisis de Sensibilidad" »

Definición de Media Ponderada

Se denomina media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los valores por un valor particular (llamado su peso o ponderación) y obteniendo, a continuación, la media aritmética del conjunto formado por los productos anteriores.

Se utiliza la media ponderada cuando no todos los elementos componentes de los que se pretende obtener el promedio tienen la misma importancia o relevancia dentro del conjunto.

Ejemplo académico de ponderación

Un ejemplo muy común ocurre en el ámbito educativo. Supongamos que un profesor establece que las evaluaciones tienen distintos pesos sobre la nota final:

• Un examen vale el 40% de la nota final.
• Otro examen vale el 35%.
• El último vale el 25%.

Para... Continuar leyendo "Cómo calcular la media ponderada: conceptos, fórmulas y ejemplos prácticos" »

Músculs del Coll i l'Esquena

Músculs Interespinosos

Entre apòfisis espinoses de dues vèrtebres consecutives. Innervació: Branca dorsal dels nervis raquidis.

Múscul Sacrococcigi

De la cara posterior del sacre a la cara posterior del còccix. Innervació: No especificada.

Múscul Recte Posterior Menor del Cap

Origen: Tubercle de l'arc posterior de l'atles. Inserció: Os occipital (Plà Nucal). Innervació: No especificada.

Múscul Recte Posterior Major del Cap

Origen: Fosseta damunt l'apòfisi espinosa de l'axis. Inserció: Os occipital. Innervació: No especificada.

Múscul Oblic Inferior del Cap

Origen: Fosseta de l'axis. Inserció: Tubercle posterior de l'apòfisi transversa de l'atles.

Músculs Rotadors

Origen: Apòfisi transversa. Inserció: Apòfisi... Continuar leyendo "Anatomia Muscular: Origen, Inserció, Innervació i Acció" »

Concepto de técnicas de ajuste

La topografía y la geodesia son ciencias que se basan en la adquisición de observaciones para la determinación de magnitudes relativas a la forma y dimensiones de la superficie terrestre. A este procedimiento de determinación de mensurandos a partir de la medición de observables se le conoce como medición indirecta.

En este proceso, siempre existirán:

• Unas observables (x_j).
• Uno o varios mensurandos que se pretenden conocer (y_k).
• Un modelo matemático que los relaciona.

Este modelo matemático podrá estar compuesto por una o más ecuaciones, en cada una de las cuales las observables actuarán como variables independientes y el o los mensurandos pretendidos como variables dependientes. Cada modelo matemático... Continuar leyendo "Fundamentos de las Técnicas de Ajuste en Topografía y Geodesia" »

Conceptos Fundamentales

Población: Es un conjunto de objetos, personas, entidades de la más diversa índole, que constituyen el objetivo de nuestro estudio. Ejemplo: el conjunto de alumnos de la USC.

Patrón probabilístico: Es la ley que rige el comportamiento de un mecanismo aleatorio. Ejemplo: la probabilidad de cara al lanzar una moneda.

Muestra: Proporciona información sobre el objeto de estudio: la población o el patrón probabilístico.

Estadística Descriptiva

Se ocupa de recoger, clasificar y resumir la información contenida en la muestra.

Frecuencias

• Frecuencia absoluta (ni): Número de veces que ocurre el resultado xi.
• Frecuencia relativa, proporción o tanto por uno (fi): Es la frecuencia absoluta dividida por el tamaño muestral.

Elementos Fundamentales del Triángulo

El estudio del triángulo involucra varias líneas y segmentos notables que definen sus propiedades geométricas.

Líneas y Segmentos Notables

• Bisectrices de un triángulo: Son las rectas que dividen a cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.
• Alturas de un triángulo: Son los segmentos de recta que, partiendo de cada vértice, son perpendiculares a los lados opuestos.
• Mediatrices de un triángulo: Son las rectas perpendiculares a cada lado en su punto medio.
• Medianas de un triángulo: Son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Puntos Notables del Triángulo (Centros)

La intersección de las líneas y segmentos notables genera puntos específicos, conocidos como los centros... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Plana: Puntos Notables y Lugares Geométricos" »

Descomposición Clásica de Series Temporales

En la modelización clásica de series temporales se considera que toda serie temporal puede descomponerse en cuatro componentes fundamentales. A continuación, se define cada una de ellas:

1. Tendencia (T_ik)

   Es el movimiento a largo plazo de la serie, que puede ser de crecimiento, decrecimiento o estancamiento. Su identificación requiere un número suficientemente grande de observaciones.

2. Ciclo (C_ik)

   Son movimientos producidos con un período superior al año. Generalmente, se deben a la alternancia de etapas de prosperidad y de depresión en la actividad económica.

   Nota: A veces se trata conjuntamente el ciclo con la tendencia, denominándose Componente Tendencia-Ciclo o Componente Extraestacional.

3. Componente

Transformacions Ortogonals (TO)

• Es conserven la norma, la distància i l'angle.
• Una transformació A és ortogonal si A · Aᵀ = Id.
• El determinant de A és +1 o -1.
• Un vector fix és un vector propi associat al valor propi 1.
• Si F i G són transformacions ortogonals, llavors la seva composició F o G també ho és.
• El determinant de la composició H = F o G és det(H) = det(G) · det(F).
• Equacions: Te(x,y) = (x,y).
• Canvi de base: Te = C_ne · T_n · C_ne⁻¹.
• Nota: No hi ha A*. Te ha de ser simètrica.

Classificació de TO en R²

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria axial. Eix: Ker(A - Id). Exemple: f(x,y) = (x, -y) (matriu [[1,0],[0,-1]]).
3. Si det(A) = +1:
   • Identitat. Angle = 0°.
   • Simetria central (-Id). Angle = 180°.
   • Rotació qualsevol.

Cálculo de la Longitud de Arco

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada , que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

1. Curvas en forma paramétrica

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

2. Curvas en coordenadas polares

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:

3. Consideraciones sobre integración numérica

En la mayoría de los casos, no hay una solución... Continuar leyendo "Cálculo de la Longitud de Arco: Fórmulas y Demostración Matemática" »

Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad

Definiciones Básicas en Estadística

• Población: Conjunto de elementos que son objeto de estudio.
• Muestra: Subconjunto de elementos de una población, cuyo estudio permite inferir características de esta.
• Individuo: Cada uno de los elementos de una población o muestra.

Tipos de Variables

Una variable es una característica o cualidad que puede variar y es susceptible de ser medida o clasificada. Se pueden clasificar en:

• Cualitativas: No toman valores numéricos.
• Cuantitativas Discretas: Toman valores aislados.
• Cuantitativas Continuas: Toman todos los valores de un intervalo.

Principios de Probabilidad

• Probabilidad: Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio se incrementa significativamente,