Ejercicios Resueltos de Divisibilidad y Múltiplos
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Dv9.- Divisibilidad por 11 en números de cuatro cifras
Si un número natural M de cuatro cifras se escribe M = aabb, probar que es divisible por 11. ¿Qué valores pueden tomar a y b para que 112 sea divisor de M?
Solución
M = aabb = 1000 · a + 100 · a + 10 · b + b = (1100 · a + 11 · b) = 11 · (100 · a + b).
Por tanto, M es múltiplo de 11 cualesquiera sean los valores de las cifras a y b.
Si queremos que aabb sea divisible por 112, entonces también ha de ser divisible por 11 la expresión 100 · a + b. Podemos escribirla de la siguiente forma: 99 · a + a + b.
Como 99 · a es múltiplo de 11, es necesario que la suma a + b sea múltiplo de 11.
Por tanto, los valores que pueden tomar son:
- a = 2 y b = 9
- a = 3 y b = 8
- a = 4 y b = 7
- a = 5 y b = 6
- a = 9 y b = 2
- a = 8 y b = 3
- a = 7 y b = 4
- a = 6 y b = 5
Dv10.- Hallar números naturales mediante el MCM
Hallar dos números naturales a y b, tales que su suma sea 150 y su mcm sea 315.
Solución
Los dos números han de ser divisores de su mcm. Si hallamos todos los divisores de 315, solo hemos de buscar aquellos cuya suma sea 150.
Descomposición factorial: 315 = 32 · 5 · 7.
Hallaremos todos los divisores de 315 mediante una tabla:
| · | 1 | 3 | 32 |
| 1 | 1 | 3 | 9 |
| 5 | 5 | 15 | 45 |
| 7 | 7 | 21 | 63 |
| 5 · 7 | 35 | 105 | 315 |
Los números que cumplen la condición del enunciado son: 45 y 105.
Dv11.- Cálculo del número de divisores
Calcular el número de divisores de 810 y hallar todos sus divisores.
Solución
La descomposición factorial es: 810 = 2 · 34 · 5.
Hallaremos todos los divisores mediante una tabla:
| · | 1 | 3 | 32 | 33 | 34 |
| 1 | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 |
| 2 | 2 | 6 | 18 | 54 | 108 |
| 5 | 5 | 15 | 45 | 135 | 405 |
| 2 · 5 | 10 | 30 | 90 | 270 | 810 |
El número de divisores será (1+1) · (4+1) · (1+1) = 20.