Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Calibración: Definición y Conceptos

La calibración es la comparación de un estándar de medición o de un instrumento de exactitud conocida con otro instrumento, con el fin de detectar, correlacionar, reportar o eliminar, mediante ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento que se está comparando.

Variabilidad Total del Producto

Incluye la variabilidad del proceso de medición:

DE² TOTAL = DE² PROCESO + DE² MEDICIÓN

Errores de Medición

El error de medición se define como el valor del instrumento de medición menos el valor verdadero.

• DE² ERROR = DE² MEDICIÓN - DE² PATRÓN
• DE² MEDICIÓN = DE² PATRÓN + DE² ERROR

El intervalo de confianza para la media de las mediciones se reduce tomando mediciones múltiples, de acuerdo... Continuar leyendo "Fundamentos de Calibración y Metrología: Conceptos y Aplicaciones" »

1. Coordenadas Intrínsecas

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas intrínsecas se expresan como:

T = T * Et

F = Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb

d(T * Et) + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

dT * Et + T * dEt + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

Nota: d(Et/ds) = En/ρ

dT * Et + (T/ρ) * (En/ds) + (Ft * Et + Fn * En + Fb * Eb) * ds = 0

De lo anterior, se derivan las siguientes relaciones:

• -dT + Ft * ds = 0
• -(T/ρ) * ds + Fn * ds = 0 → T/ρ + Fn = 0
• -Fb = 0

La fuerza F se encuentra en el plano osculador de la curva.

2. Coordenadas Cartesianas

Considerando T = T * Et en coordenadas cartesianas, tenemos:

T = T(dx/ds)i + T(dy/ds)j + T(dz/ds)k

Et = dT/ds = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k

F = (Fx)i + (Fy)j + (Fz)k

La ecuación de movimiento se expresa como:... Continuar leyendo "Fundamentos de Mecánica y Dinámica: Ecuaciones, Hilos y Percusiones" »

Funciones monótonas

Definición: f(x) es monótona (creciente o decreciente) en un intervalo I cuando para todo x₁, x₂ ∈ I, con x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) ≤ f(x₂) (monótona creciente) o f(x₁) ≥ f(x₂) (monótona decreciente).

Propiedad: Si f es una función monótona en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función está acotada en dicho intervalo [a,b].

Demostración:

• Si f es monótona creciente en [a,b], entonces para todo x ∈ [a,b] se tiene a ≤ x ≤ b, luego f(a) ≤ f(x) ≤ f(b). Por tanto, f(a) es cota inferior y f(b) es cota superior de f en [a,b]; es decir, la función f está acotada en [a,b].
• Si f es monótona decreciente en [a,b], entonces para todo x ∈ [a,b] se tiene a ≤ x ≤ b, luego f(a) ≥

1er paso: Condiciones del modelo

Variable independiente nominal con dos modalidades (y se ponen al lado los dos grupos) ;; Variable dependiente de intervalo (o asimilable) o razón: (se pone la variable) ;; Delimitador poblacional: (te lo pueden decir o no)

2do paso: Planteamiento de hipótesis

Ho: Hipótesis nula ????Ho: m1 = m2 ????Las medias de ____ (variables independientes) son iguales en las _____ (variable dependiente) para ____ (el delimitador poblacional) // H1: Hipótesis alternativa ???? H1: m1 =/= m2 ????….NO son iguales…

3er paso: Supuestos del modelo

Plantear las 4 hipótesis: Normalidad: Grupo A ???? Ho: dist1 = N; La distribución de C (la variable dependiente) del D (delimitador poblacional) en la A (variable independiente A)... Continuar leyendo "Pasos para realizar un análisis de hipótesis" »

Derivabilidad y Extremos Relativos

1. Crecimiento y Decrecimiento

Teorema: Si una función f(x) derivable en un punto x = a tiene (f’(a) > 0, f’(a) ) entonces f(x) es estrictamente (creciente, decreciente) en el punto x = a.

2. Extremos Relativos

Definición: Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto estacionario de f(x).

Teorema: Si f(x) es derivable y tiene un extremo relativo en x = a, entonces f’(a) = 0. Es consecuencia del resultado anterior, porque si f’(a) fuese (>0,x = a.

Nota: Como hemos visto, f’(a) = 0 no es condición suficiente para que exista extremo. Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto crítico o estacionario de f(x).

Teorema: Si una función f(x) verifica f’(a) = 0 y (f’’(a) > 0, f’’(a) )

Multicolinealidad

Existe una relación lineal perfecta o casi exacta entre las variables regresoras.

Es un fenómeno de tipo muestral, por lo que puede que en la población no exista esta multicolinealidad, pero en la muestra sí. La presencia de la multicolinealidad puede ser un problema porque conduce a grandes errores estándar en los estimadores.

Fuentes de la multicolinealidad

• El método de recolección de información.
• Restricciones en el modelo.
• Especificación del modelo.
• Modelo sobre-determinado (más variables explicativas que observaciones).
• Tendencia común que comparten las regresoras (todas aumentan o disminuyen en el tiempo).

Supuestos del Modelo

• Supuesto 10: No hay multicolinealidad perfecta; no hay relaciones perfectamente lineales entre

Fundamentos de la Teoría de Grafos

Un Grafo es una estructura de datos no lineal, que puede ser considerada como un conjunto de vértices y arcos que conectan esos vértices.

Definiciones Clave

Arista / Arco

Elemento que conecta dos vértices en un grafo.

Camino

Es una secuencia de vértices. La longitud del camino es la cantidad de arcos que este contiene.

Camino Simple

Es aquel donde todos sus vértices son distintos. Solo el primero y el último pueden coincidir.

Ciclo

Es un camino simple y cerrado.

Grafo Conexo

Si desde cualquier vértice existe un camino hasta cualquier otro vértice del grafo.

Grafo Fuertemente Conexo (Dígrafo)

Si para todo par de vértices existe un camino dirigido.

Árbol

Si un grafo no dirigido es conexo y acíclico.

Propiedades

I. Operaciones Aritméticas con Números Enteros y Fracciones

1. 2(-1) + (3 - 4) = -2 + (-1) = -3
2. 4(-1 + 2) + (-5) = 4(1) + (-5) = 4 - 5 = -1
3. (4/5) - (2/3) = (12 - 10) / 15 = 2/15
4. (1/6) x (1/5) = 1/30
5. (2/5) ÷ (1/6) = 12/5
6. (1/6 + 3/4) - 1/3 = (2/12 + 9/12) - 4/12 = 11/12 - 4/12 = 7/12
7. 5 - 2 + 3 - 4 = 3 + 3 - 4 = 2
8. -2 - 3 + (-5 x 2) = -5 + (-10) = -15
9. (3/4 + 1/6) - (-2/3) = (9/12 + 2/12) + 8/12 = 11/12 + 8/12 = 19/12

II. Valor Numérico: Sustitución de Variables

Sustituye cada letra por su valor y resuelve la operación indicada: a = -1, b = -2, c = 3

1. (1/2) ab = (1/2)(-1)(-2) = (1/2)(2) = 1
2. (2/5) a³c = (2/5)(-1)³(3) = (2/5)(-1)(3) = -6/5
3. (1/9) a – (1/3) b = (1/9)(-1) - (1/3)(-2) = -1/9 + 2/3 = (-1 + 6) / 9 = 5/9
4. 2a – 3b + 5c = 2(-1) – 3(-2) + 5(3) = -2

Definición de los Momentos Estadísticos (Centrados y No Centrados)

Los momentos son valores calculados a partir de la distribución de frecuencias. Son muy útiles ya que miden propiedades fundamentales de la variable observada.

Momentos No Centrados (Respecto al Origen)

Se define el momento no centrado, o respecto al origen, de orden r (a_r) como:

Fórmulas para Momentos No Centrados

• Para tablas con frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r n_i = \sum x_i^r f_i

• Para tablas sin frecuencias:

  a_r = \frac{1}{n} \sum x_i^r

El momento no centrado a_0 es igual a 1 en cualquier distribución de frecuencias. El momento no centrado a_1 se conoce también como media aritmética (\bar{x}).

Momentos Centrados (Respecto a la Media)

Se define el momento centrado,... Continuar leyendo "Fundamentos de los Momentos Estadísticos y Medidas de Dispersión" »

Mètodes Numèrics per a la Resolució de Sistemes Lineals

Mètode de Cramer

La solució del sistema $Ax=b$, mitjançant la regla de Cramer, es defineix com:

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad 1 \le i \le n$$

On $|A|$ és el determinant de la matriu $A$, i $|A_i|$ és el determinant de la matriu obtinguda substituint la columna $i$ de $A$ pel vector $b$.

Si la matriu és d'ordre $n$, calen $n+1$ determinants d'ordre $n$ per a calcular el vector solució $x$. El nombre d'operacions és, com a mínim, de l'ordre de $n!n$.

Mètodes Directes

Són mètodes que ens proporcionen la solució exacta en un nombre finit d'operacions, si no fos pels errors d'arrodoniment acumulats i les possibles imprecisions en el coneixement inicial de $A$ i $b$.

Es consideren... Continuar leyendo "Mètodes Numèrics per a Sistemes Lineals: Directes i Iteratius" »