Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Semana 7: Comparación de Variables Numéricas - T-test y U de Mann-Whitney

• Hipótesis Nula (Ho): No existen diferencias significativas. Los grupos son iguales.
• Hipótesis Alternativa (Ha): Existen diferencias significativas.

Pruebas de Normalidad y Homogeneidad

• Normalidad (Shapiro-Wilk): Si p > 0.05, se acepta Ho. La media de los grupos en expuestos y no expuestos son iguales. La gráfica presenta una distribución normal.
• Homogeneidad (Levene para 2 grupos / Bartlett para 3 grupos): Si p > 0.05, se acepta Ho. La varianza de ambos grupos es igual.

Elección de la Prueba Estadística

• Si se cumplen los supuestos de normalidad y homogeneidad → Pruebas paramétricas:
  • Independientes: T-test (2 grupos) / ANOVA (3 o más grupos).
  • Dependientes: T-test

Principios Fundamentales de Microeconomía

Efectos de los Cambios en el Precio y la Renta

Efectos Directos (T11 o T22 = R11 + S11)

• R11 (Efecto Renta):
  • q1 normal: disminuye (-)
  • q1 inferior: aumenta (+)
  • q1 neutro: constante
• S11 (Efecto Sustitución): Siempre disminuye (-)
• T11 (Efecto Total):
  • Si Q1 es ordinario: baja P1, sube q1 (-)
  • Si Q1 es Giffen: baja P1, baja q1 (+)

Efectos Cruzados (T12 o T21 = R21 + S21)

• R21 (Efecto Renta):
  • q2 normal: disminuye (-)
  • q2 inferior: aumenta (+)
  • q2 neutro: constante
• S21 (Efecto Sustitución): Siempre aumenta (+)
• T21 (Efecto Total):
  • Si Q1 es ordinario:
    • Baja P1, sube q1, baja q2 (+): q1, q2 son sustitutivos brutos.
    • Baja P1, sube q1, sube q2 (-): q1, q2 son complementarios brutos.
    • Baja P1, sube q1, q2 constante (=0): q1, q2 son independientes.

Función

Función (para cada valor de x solo se corresponde un valor de y).

Formas de expresar una función

• Por un enunciado.
• Por una expresión algebraica.
• Por una gráfica.
• Por una tabla de valores.

Variables

Variable independiente: x / variable dependiente: y.

Continuidad

Una función es continua si no hay que levantar el lápiz del papel para dibujarla.

Puntos de corte con los ejes

Son los puntos donde la función corta a los ejes de coordenadas. Pueden ser con el eje x y con el eje y. En estos puntos se dan los valores que toman ambas variables.

Imagen o recorrido

Son los valores que toma la variable dependiente y. Solo se dan los valores de y. Para calcularlo se hace un barrido a lo largo del eje y.

Monotonía

• Creciente: una función es creciente en

Puntos Críticos: Máximos, Mínimos y Puntos de Silla

Para determinar los extremos de una función, seguimos estos procedimientos según el caso:

• Caso 1: Calculamos las derivadas parciales z'x y z'y. Igualamos ambas a cero, despejamos y obtenemos el punto crítico. Reemplazamos en la función original para obtener z. Calculamos el Hessiano (H): H = (z''xx · z''yy) - (z''xy · z''yx).
  • Si H > 0: Puede haber máximo o mínimo. Si z''xx < 0 es máximo; si z''xx > 0 es mínimo.
  • Si H < 0: Es un punto de silla.
• Caso 2 (Variables acopladas): Calculamos z'x y z'y, igualamos a cero y resolvemos el sistema para hallar x e y. Obtenemos el punto y reemplazamos en la original para hallar z.
• Caso 3 (Potencias superiores): Al tener términos como x³,

Variables Cualitativas y Cuantitativas

Las variables cualitativas son aquellas que expresan características o cualidades.

Las variables cuantitativas son aquellas que adoptan valores numéricos (es decir, cifras).

Variables Cuantitativas Continuas y Discretas

Las variables cuantitativas continuas pueden adoptar cualquier valor en el marco de un determinado intervalo.

Las variables cuantitativas discretas, en cambio, adquieren valores que están separados entre sí en la escala. Por ejemplo: La cantidad de mascotas que tiene una persona es una variable cuantitativa discreta: una mujer puede tener 2, 3 o 4 perros, pero nunca 2,5 o 3,25 perros.

Polinomios

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal del monomio.

• Variables: Son las letras que componen la parte literal.
• Grado de un monomio: Es el exponente de la letra que forma la parte literal.
• Monomios semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal.
• Monomios opuestos: Son aquellos que tienen sus coeficientes opuestos.

Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios

La suma o resta de dos o más monomios solo se puede realizar si son semejantes; en caso contrario, la operación se deja indicada. El resultado es otro monomio que tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Polinomios y Operaciones Algebraicas" »

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial

Diferencial

A partir de la definición de derivada, se verifica que para x = x₀, al despejar, obtenemos: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀). Llamando diferencial de x (dx) a (x - x₀), se cumple que f(x) = f(x₀) + f'(x₀)dx. Se denomina diferencial en x₀ al término f'(x₀)dx, que se denota como df(x₀). En general, se puede expresar como df(x) = f'(x)dx.

Comportamiento de Funciones

• Crecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) < f(b).
• Decrecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) > f(b).

Extremos Relativos y Absolutos

• Máximo

Operaciones Básicas

Suma y resta

• Si son signos iguales, se suman y se mantiene el signo: -5 - 9 = -14
• Si son signos diferentes, se restan y se respeta el signo del número mayor: -20 + 18 = -2

Multiplicación y división

• Signos diferentes: se efectúa la operación y el resultado será negativo. Ejemplo: (-20)(4) = -80
• Signos iguales: se realiza la operación y el resultado siempre será positivo. Ejemplo: (325)(4) = 1300

Leyes de Potencias

La potencia indica el número de veces por el cual se multiplica la base. Elementos: aᵐ (donde a es la base y m la potencia).

• 1ra ley: Producto de potencias con la misma base: a³ × a⁴ = a⁷
• 2da ley: División de potencias con la misma base: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• 3ra ley: Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ

Problemas de Estructura Multiplicativa de una Etapa

1. Problemas de Proporcionalidad Simple

• Tipo 1. Multiplicación:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 4 cajas de lápices. Cada caja contiene 6 lápices. ¿Cuántos lápices hay en total?”
  • Tasa: “Si los bombones cuestan 7 céntimos la unidad, ¿cuánto costará la docena?”
• Tipo 2. División partitiva:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 24 lápices repartidos por igual en 4 cajas. ¿Cuántos tiene cada caja?”
  • Tasa: “Una docena de bombones cuesta 84 céntimos. ¿Cuánto cuesta cada uno?”
• Tipo 3. División cuotitiva o medida:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 24 lápices. Los quiero colocar en cajas de 6 lápices. ¿Cuántas cajas necesito?”
  • Tasa: “He comprado bombones por un total de

Zergatik Handitu Den Errege-Erreginen Boterea XII. Mendetik Aurrera?

XII. mendetik aurrera, Europako errege-erreginek beren boterea indartu zuten jaun feudalen gainetik. Hori hainbat faktoreri esker izan zen:

• Hirien Hazkundearekin Eta Haien Eraginarekin Nobleen Boterea Gutxitzen Joan Zen Pixkanaka. Errege-erreginek hiriei foruak eman eta trukean haien babesa jasotzen zuten.

• Ekonomiaren Hazkundearekin Zerga Gehiago Bildu Eta Erresuma Bakoitzak Bere Armada Osatu Ahal Izan Zuen. Errege-erreginek horrela ezarri zieten obedientzia nobleei.

• Unibertsitateen Garapenaz Baliaturik Legelariek Zuzenbide Erromatarra Sustatu Zuten, Eta Horrek Zuzenbide Tradizionalak Baino Botere Handiago Ematen Zien Errege-Erreginei. Horrez Gain, Administrazioa Profesionalizatu