Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Puntos Críticos: Máximos, Mínimos y Puntos de Silla

Para determinar los extremos de una función, seguimos estos procedimientos según el caso:

• Caso 1: Calculamos las derivadas parciales z'x y z'y. Igualamos ambas a cero, despejamos y obtenemos el punto crítico. Reemplazamos en la función original para obtener z. Calculamos el Hessiano (H): H = (z''xx · z''yy) - (z''xy · z''yx).
  • Si H > 0: Puede haber máximo o mínimo. Si z''xx < 0 es máximo; si z''xx > 0 es mínimo.
  • Si H < 0: Es un punto de silla.
• Caso 2 (Variables acopladas): Calculamos z'x y z'y, igualamos a cero y resolvemos el sistema para hallar x e y. Obtenemos el punto y reemplazamos en la original para hallar z.
• Caso 3 (Potencias superiores): Al tener términos como x³,

Variables Cualitativas y Cuantitativas

Las variables cualitativas son aquellas que expresan características o cualidades.

Las variables cuantitativas son aquellas que adoptan valores numéricos (es decir, cifras).

Variables Cuantitativas Continuas y Discretas

Las variables cuantitativas continuas pueden adoptar cualquier valor en el marco de un determinado intervalo.

Las variables cuantitativas discretas, en cambio, adquieren valores que están separados entre sí en la escala. Por ejemplo: La cantidad de mascotas que tiene una persona es una variable cuantitativa discreta: una mujer puede tener 2, 3 o 4 perros, pero nunca 2,5 o 3,25 perros.

Polinomios

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal del monomio.

• Variables: Son las letras que componen la parte literal.
• Grado de un monomio: Es el exponente de la letra que forma la parte literal.
• Monomios semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal.
• Monomios opuestos: Son aquellos que tienen sus coeficientes opuestos.

Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios

La suma o resta de dos o más monomios solo se puede realizar si son semejantes; en caso contrario, la operación se deja indicada. El resultado es otro monomio que tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Polinomios y Operaciones Algebraicas" »

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial

Diferencial

A partir de la definición de derivada, se verifica que para x = x₀, al despejar, obtenemos: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀). Llamando diferencial de x (dx) a (x - x₀), se cumple que f(x) = f(x₀) + f'(x₀)dx. Se denomina diferencial en x₀ al término f'(x₀)dx, que se denota como df(x₀). En general, se puede expresar como df(x) = f'(x)dx.

Comportamiento de Funciones

• Crecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) < f(b).
• Decrecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) > f(b).

Extremos Relativos y Absolutos

• Máximo

Operaciones Básicas

Suma y resta

• Si son signos iguales, se suman y se mantiene el signo: -5 - 9 = -14
• Si son signos diferentes, se restan y se respeta el signo del número mayor: -20 + 18 = -2

Multiplicación y división

• Signos diferentes: se efectúa la operación y el resultado será negativo. Ejemplo: (-20)(4) = -80
• Signos iguales: se realiza la operación y el resultado siempre será positivo. Ejemplo: (325)(4) = 1300

Leyes de Potencias

La potencia indica el número de veces por el cual se multiplica la base. Elementos: aᵐ (donde a es la base y m la potencia).

• 1ra ley: Producto de potencias con la misma base: a³ × a⁴ = a⁷
• 2da ley: División de potencias con la misma base: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• 3ra ley: Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ

Problemas de Estructura Multiplicativa de una Etapa

1. Problemas de Proporcionalidad Simple

• Tipo 1. Multiplicación:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 4 cajas de lápices. Cada caja contiene 6 lápices. ¿Cuántos lápices hay en total?”
  • Tasa: “Si los bombones cuestan 7 céntimos la unidad, ¿cuánto costará la docena?”
• Tipo 2. División partitiva:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 24 lápices repartidos por igual en 4 cajas. ¿Cuántos tiene cada caja?”
  • Tasa: “Una docena de bombones cuesta 84 céntimos. ¿Cuánto cuesta cada uno?”
• Tipo 3. División cuotitiva o medida:
  • Grupos repetidos: “En la mesa hay 24 lápices. Los quiero colocar en cajas de 6 lápices. ¿Cuántas cajas necesito?”
  • Tasa: “He comprado bombones por un total de

Zergatik Handitu Den Errege-Erreginen Boterea XII. Mendetik Aurrera?

XII. mendetik aurrera, Europako errege-erreginek beren boterea indartu zuten jaun feudalen gainetik. Hori hainbat faktoreri esker izan zen:

• Hirien Hazkundearekin Eta Haien Eraginarekin Nobleen Boterea Gutxitzen Joan Zen Pixkanaka. Errege-erreginek hiriei foruak eman eta trukean haien babesa jasotzen zuten.

• Ekonomiaren Hazkundearekin Zerga Gehiago Bildu Eta Erresuma Bakoitzak Bere Armada Osatu Ahal Izan Zuen. Errege-erreginek horrela ezarri zieten obedientzia nobleei.

• Unibertsitateen Garapenaz Baliaturik Legelariek Zuzenbide Erromatarra Sustatu Zuten, Eta Horrek Zuzenbide Tradizionalak Baino Botere Handiago Ematen Zien Errege-Erreginei. Horrez Gain, Administrazioa Profesionalizatu

Recorrido y dominio de una función

Se llama recorrido de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente y. El conjunto de puntos del eje y que tiene gráfica.

Se llama dominio de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. El conjunto de puntos del eje x que tiene gráfica.

Una función tiene un máximo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es mayor que los valores que toma la función cerca de él (creciente izq, decreciente dere).

Una función tiene un mínimo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es menor que los valores que toma la función cerca de él (decreciente izq, creciente dere).

Existen 3 tipos de discontinuidades... Continuar leyendo "Funciones matemáticas y sus propiedades" »

• Un sistema de numeració és el conjunt de símbols i regles que ens permeten escriure nombres i llegir-los.
• El sistema de numeració decimal és un sistema de numeració posicional format pels símbols 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, anomenats xifres o dígits.
• Podem descompondre un nombre en la suma de les seves xifres segons el seu valor posicional.
• El conjunt dels nombres naturals es pot expressar com = {1, 2, 3, 4, 5,…}, excloent-ne el nombre 0, que no es considera natural.
• Fem servir els nombres naturals per comptar elements, expressar un ordre, identificar elements diferents o estimar quantitats.
• Les propietats de la suma de nombres naturals són:
• Commutativa: a + b = b + a
• Associativa: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
• Element neutre: Quan

Quimiometría: Fundamentos y Aplicaciones en Datos Químicos

La Quimiometría es la rama de la Química Analítica (QA) encargada de aplicar la estadística al diseño de experimentos y al tratamiento de datos químicos para simplificar y obtener información relevante del problema en estudio. Los problemas cuya solución depende de varias variables son multivariantes y se resuelven con métodos estadísticos multivariantes, los cuales ofrecen 3 niveles de información:

• Cualitativo
• Cuantitativo
• Clasificatorio

Matriz Objeto-Variable: Estructura de Datos Quimiométricos

En Quimiometría, la Matriz Objeto-Variable es fundamental. Los objetos son los distintos entes materiales sobre los que queremos obtener información, y las variables son las propiedades... Continuar leyendo "Fundamentos de Quimiometría: Procesamiento y Modelado de Datos Químicos" »