Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial: Derivadas y Extremos

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial

Diferencial

A partir de la definición de derivada, se verifica que para x = x₀, al despejar, obtenemos: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀). Llamando diferencial de x (dx) a (x - x₀), se cumple que f(x) = f(x₀) + f'(x₀)dx. Se denomina diferencial en x₀ al término f'(x₀)dx, que se denota como df(x₀). En general, se puede expresar como df(x) = f'(x)dx.

Comportamiento de Funciones

• Crecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) < f(b).
• Decrecimiento: En un intervalo H del dominio de f(x), para cualquier par de valores a y b, si a < b, se verifica que f(a) > f(b).

Extremos Relativos y Absolutos

• Máximo relativo: Se alcanza en c si existe un intervalo H al que pertenece c y, para cualquier x ≠ c, se verifica que f(x) < f(c).
• Mínimo relativo: Similar al máximo relativo, pero se verifica que f(x) > f(c).
• Máximo absoluto: Se alcanza en c si c pertenece al dominio y, para cualquier valor de x ≠ c, se verifica que f(x) < f(c).
• Mínimo absoluto: Similar al máximo absoluto, pero se verifica que f(x) > f(c).

El valor de c es un extremo relativo o absoluto si es un máximo o mínimo correspondiente.

Puntos Críticos y Estacionarios

• Punto estacionario: El punto (c, f(c)) es estacionario de f(x) si f'(c) = 0.
• Valor crítico: Valor en el cual f(x) tiene un máximo o un mínimo.

Criterios de la Primera Derivada

• Función creciente: En un intervalo H, si y solo si para cualquier valor de c, la pendiente de la recta tangente en (c, f(c)) es positiva (f'(c) > 0).
• Función decreciente: En un intervalo H, si y solo si para cualquier valor de c, la pendiente de la recta tangente en (c, f(c)) es negativa (f'(c) < 0).

En el valor c donde la función tiene un extremo absoluto o relativo, se verifica que f'(c) = 0 o que f'(c) no existe.

Concavidad e Inflexión

• Punto de inflexión: Ocurre en (c, f(c)) si y solo si en un entorno de c la función cambia su concavidad a la izquierda y derecha de c. También se cumple si f''(c) = 0.
• Cóncava hacia arriba: En un intervalo H, si y solo si se verifica que f''(x) > 0.
• Convexa hacia abajo: En un intervalo H, si y solo si se verifica que f''(x) < 0.

Teorema de la Segunda Derivada

Si f(x) es derivable en c, donde f'(c) = 0:

• Si f''(c) > 0, f(x) tiene un mínimo relativo en x = c.
• Si f''(c) < 0, f(x) tiene un máximo relativo en x = c.