Fundamentos de Álgebra: Operaciones, Potencias y Ecuaciones

Operaciones Básicas

Suma y resta

• Si son signos iguales, se suman y se mantiene el signo: -5 - 9 = -14
• Si son signos diferentes, se restan y se respeta el signo del número mayor: -20 + 18 = -2

Multiplicación y división

• Signos diferentes: se efectúa la operación y el resultado será negativo. Ejemplo: (-20)(4) = -80
• Signos iguales: se realiza la operación y el resultado siempre será positivo. Ejemplo: (325)(4) = 1300

Leyes de Potencias

La potencia indica el número de veces por el cual se multiplica la base. Elementos: aᵐ (donde a es la base y m la potencia).

• 1ra ley: Producto de potencias con la misma base: a³ × a⁴ = a⁷
• 2da ley: División de potencias con la misma base: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• 3ra ley: Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
• 4ta ley: Producto de una potencia: (ab)⁴ = a⁴b⁴
• 5ta ley: Todo número elevado a la potencia 0 da como resultado 1: a⁰ = 1
• 6ta ley: Cociente elevado a la potencia: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
• 7ma ley: Potencias negativas: se pasan a positivo: a⁻¹ = 1/a¹

Sistemas de Ecuaciones

Método de igualación

Consiste en igualar las mismas literales en cada ecuación:

1. Despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
2. Igualar las expresiones para obtener la literal.
3. Sustituir el valor obtenido para encontrar la incógnita restante.

Método de reducción

Consiste en sumar o restar las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita.

1. Elegir una incógnita a eliminar (debe tener signos contrarios y mismos coeficientes).
2. Sumar o restar la ecuación y resolver.
3. Realizar la comprobación.

Ecuaciones Cuadráticas

Forma ax² + bx = 0 (Mixtas)

Carecen de término independiente. Pasos para resolver:

1. Factorizar.
2. Igualar los factores a 0.
3. Despejar x.

Forma ax² + c = 0 (Puras)

Se resuelven despejando x y sacando la raíz cuadrada. Ejemplo: 6x² - 24 = 0 → x² = 4 → x = ±2.

Factorización

Es una técnica que consiste en descomponer en factores una expresión algebraica. El resultado siempre es una multiplicación.

Tipos de factorización

• Factor común
• Diferencia de cuadrados
• Suma o diferencia de cubos
• Trinomios (Trinomio cuadrado perfecto, ax² + bx + c)

Productos Notables

Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección.

Binomio Cuadrado Perfecto (B.C.P.)

El cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.