Cálculo Multivariable y Ecuaciones Diferenciales: Conceptos Clave

Puntos Críticos: Máximos, Mínimos y Puntos de Silla

Para determinar los extremos de una función, seguimos estos procedimientos según el caso:

• Caso 1: Calculamos las derivadas parciales z'x y z'y. Igualamos ambas a cero, despejamos y obtenemos el punto crítico. Reemplazamos en la función original para obtener z. Calculamos el Hessiano (H): H = (z''xx · z''yy) - (z''xy · z''yx).
  • Si H > 0: Puede haber máximo o mínimo. Si z''xx < 0 es máximo; si z''xx > 0 es mínimo.
  • Si H < 0: Es un punto de silla.
• Caso 2 (Variables acopladas): Calculamos z'x y z'y, igualamos a cero y resolvemos el sistema para hallar x e y. Obtenemos el punto y reemplazamos en la original para hallar z.
• Caso 3 (Potencias superiores): Al tener términos como x³, calculamos las derivadas, igualamos a cero y resolvemos la resolvente para obtener los puntos. Armamos el Hessiano para clasificar los extremos.

Diferenciación y Funciones Compuestas

• Diferencial total: dz = z'x · dx + z'y · dy
• Derivada de función compuesta: dz/dt = z'x · (dx/dt) + z'y · (dy/dt)
• Derivada de función implícita: Igualar a cero. dy/dx = - (z'x / z'y)

Integrales: Métodos y Aplicaciones

Integrales Inmediatas

• ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sen(x) + C
• ∫ e^u dx = e^u / u'

Técnicas de Integración

• Descomposición: Se aplica mediante la propiedad distributiva ante sumas o restas.
• Sustitución: Útil en raíces, potencias o cocientes. Se define u y du = u' dx.
• Integración por partes: Para productos de funciones. Se utiliza u y dv.
• Fracciones Racionales: Se descompone en fracciones simples (A/parentesis1 + B/parentesis2), se igualan denominadores y se resuelven los valores de A y B.

Funciones Trigonométricas y Aplicaciones Económicas

• ∫ sen²(x) dx = ∫ (1 - cos(2x)) / 2 dx
• ∫ cos²(x) dx = ∫ (1 + cos(2x)) / 2 dx
• Aplicaciones: Costo total = ∫ Costo marginal; Ingreso total = ∫ Ingreso marginal.

Integrales Definidas y Cálculo de Áreas

Para calcular el área entre curvas:

1. Realizar tabla de valores y graficar.
2. Igualar las funciones para hallar los puntos de corte.
3. Calcular el área mediante: ∫ (Techo - Piso) dx.

Ecuaciones Diferenciales

Variables Separables

1. Igualar el denominador a cero.
2. Separar variables (dividir lo que molesta).
3. Integrar ambos lados y resolver para obtener la constante.

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Dada la forma P dx + Q dy = 0, se verifica si ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Si son iguales, la solución se obtiene mediante: ∫ P dx + ∫ [Q - ∂/∂y (∫ P dx)] dy = C.

Nota: En diferenciales homogéneas, se busca la estructura de binomios para su resolución.