Chuletas y apuntes de Matemáticas

Conjuntos

Conjunto: es la agrupación de elementos con características comunes que permiten considerarlos como un todo.

Elementos del conjunto: son cada una de las partes que forman un conjunto.

Determinación del conjunto

Por extensión: cuando se nombran cada uno de los elementos que forman un conjunto.

Por comprensión: cuando se describe el conjunto mediante una propiedad o regla que caracteriza a sus elementos.

Operaciones entre conjuntos

Unión: es la agrupación de los elementos de dos o más conjuntos; incluye tanto las características comunes como las no comunes entre los elementos que los conforman.

Intersección: es el conjunto formado por los elementos comunes a dos o más conjuntos dados.

Vectores

Vectores: es un segmento de recta orientado...

Conceptos Fundamentales de Funciones y Relaciones

Conceptos Básicos

Relaciones Matemáticas: Conjunto de parejas ordenadas X y Y, donde la relación es un subconjunto del producto cartesiano.

Función: Es un conjunto de pares ordenados de números X y Y, donde nunca se repite el primer número.

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.

Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.

Codominio: Es el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función.

Formas de Representación

Verbal: Mediante una descripción en palabras.

Algebraica: Mediante una fórmula explícita.

Diagrama de Flechas: De un conjunto a otro, indicar la relación de cada valor.

Pares Ordenados: Se representa...

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax² + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0.

• Si b y c son números distintos de cero, se dice que la ecuación es completa.
• Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta.

Discriminante

El discriminante de una ecuación de segundo grado es: Δ = b² - 4ac.

• Δ > 0: tiene dos soluciones.
• Δ = 0: tiene una solución.
• Δ < 0: no tiene soluciones reales.

Ecuaciones Bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, con a, b y c números reales y a ≠ 0.

Ecuaciones con Fracciones Algebraicas

Para resolverlas, eliminamos denominadores multiplicando...

1. El Triángulo Rectángulo (El reino de Pitágoras)

Este triángulo tiene un ángulo de 90°.
Los dos lados que forman ese ángulo son los catetos y el lado más largo (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

Se usa para hallar un lado faltante si conoces los otros dos:

• Para hallar la Hipotenusa (c):

  
  c=a2+b2​

• Para hallar un Cateto (a o b):

  
  a=c2−b2​

2. El Triángulo Equilátero

En este triángulo, todos los lados son iguales (l) y todos sus...

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Para resolver sistemas de ecuaciones, sigue estos pasos fundamentales:

• Alinear: Coloca las ecuaciones una sobre otra (x con x, y con y).
• Eliminar: Suma o resta las ecuaciones para que una incógnita se anule. Si no se eliminan directamente, multiplica una ecuación por un número para que los coeficientes coincidan.
• Resolver: Despeja la incógnita restante (ej. 2x = 10 → x = 5).
• Sustituir: Usa el resultado obtenido en cualquier ecuación original para hallar la letra faltante.

Ejemplo de Reducción

Sistema: x + y = 10 y x - y = 2.

• Sumas: 2x = 12 → x = 6.
• Sustituyes: 6 + y = 10 → y = 4.

2. Inecuaciones

Se resuelven despejando la x como en una ecuación normal, pero con una regla de oro: si multiplicas o divides...

Proyección de Producción y Determinación de Costos

Este documento detalla los pasos esenciales para la proyección de la producción y el cálculo de los costos de tres productos o servicios (A, B y C), así como métricas clave de rentabilidad y valoración económica.

Cálculo de Unidades Producidas Mensuales (U. Prod/Mes)

1. Paso 1: Calcular las Unidades Producidas Mensuales

   La proyección se basa en las unidades anuales de cada producto/servicio (Ejemplo: 2000 u/anual A, 5000 u/anual B y 1500 u/anual C).

   Fórmula:

   $$U. Prod/Mes = \frac{U. Anuales}{12}$$

   Ejemplo: Para el Producto A: $2000 / 12 = 166,67$ unidades producidas por mes.

Determinación de Costos de Producción

2. Paso 2: Calcular el Costo Total de Materia Prima Directa (MPD)

   El MPD total se

Zer da euskara batua?

Euskara batua Euskaltzaindiak sortutako euskara estandarra da, euskal hiztunen arteko ulermena errazteko helburuarekin. 1968an hasi zen ofizialki Arantzazuko Batzarrean, eta ordutik hainbat arlotan erabiltzen da: hezkuntzan, komunikabideetan eta administrazioan.

Zertarako balio du euskara batuak?

Helburu nagusia da euskal hiztun guztiek elkar ulertzea, nahiz eta euskalki desberdinak erabili. Horrez gain, euskara batuak idatzizko euskara bateratua ahalbidetzen du, eta baliagarria da literaturarako, hedabideetarako eta irakaskuntzarako.

Euskara batuaren onura nagusiak

• Euskaldunen arteko komunikazioa errazten du.
• Hezkuntzan eta administrazioan erabilera bateratua eskaintzen du.
• Euskara biziberritzeko eta zabaltzeko tresna indartsua

Apunts de potències

1. Què és una potència?

Una potència és una forma abreujada d'escriure una multiplicació on el mateix nombre (base) es multiplica per si mateix diverses vegades.

• Base

  
  Nombre que es multiplica.
• 
  

  Exponent

  Nombre de vegades que la base es multiplica.

Exemples:

• 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 823=2⋅2⋅2=8
• 54=5⋅5⋅5⋅5=6255^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 62554=5⋅5⋅5⋅5=625

2. Potències de base negativa

El resultat d'una potència amb base negativa depèn de si l'exponent és parell o imparell:

• Exponent parell: El resultat és positiu.
  
• Exponent imparell:
  El resultat és negatiu.
  

Exemples:

• (−3)2=(−3)⋅(−3)=9(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9(−3)2=(−3)⋅(−3)=9 (parell, resultat positiu)
• (−3)3=(−3)⋅(−3)

Conversión de decimal a fracción

1. Escribir el número decimal en el numerador y el número 1 en el denominador.
2. Agregar al denominador tantos ceros como cifras decimales tenga el número original.
3. Recorrer el punto decimal a la derecha tantos lugares como ceros se agregaron en el denominador.
4. Simplificar la fracción resultante.

Conversión de fracción a decimal

Toda fracción equivale a una división.

• Paso 1: Colocar el numerador como dividendo y el denominador como divisor.
• Paso 2: Resolver la división. Si el numerador es menor que el denominador, el cociente es un número decimal; si el numerador es mayor, el cociente será un número entero con decimales.

Jerarquía de operaciones y signos de agrupación

El orden para resolver operaciones es el...

Formulario de Derivadas y Conceptos Fundamentales de Cálculo

Reglas Básicas de Derivación

• Función Potencial Simple (Potencia): Exponente $\cdot X$ elevado a un grado menos.
  • Ejemplo 1: $D(x^{-3}) = -3x^{-4}$
  • Ejemplo 2: $D(8x^2) = 16x$
• Suma y Resta: Derivada de $f(x) \pm$ Derivada de $g(x)$.
  • Ejemplo: $D(-4x^3+x-2) = -12x^2+1$
• Producto: $D(f(x) \cdot g(x)) = D(f(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x))$
• Cociente: $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{D(f(x)) \cdot g(x) - f(x) \cdot D(g(x))}{g(x)^2}$

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)

• Funciones Potenciales Compuestas: Exponente $\cdot$ función elevada a un grado menos $\cdot$ derivada de la base.
  • Ejemplo: $D((4x^2-\frac{x}{3})^2) = 2 \cdot (4x^2-\frac{x}{3}) \cdot (8x-\frac{1}{3})