Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales: métodos y clasificación

Resumen

El documento explica las ecuaciones lineales con dos incógnitas y su representación gráfica como recta. Después presenta los sistemas de dos ecuaciones lineales, sus soluciones y los métodos analíticos de sustitución, igualación y reducción. Por último, clasifica los sistemas según su discusión en compatibles determinados, incompatibles y compatibles indeterminados.

Puntos clave

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma ax + by = c y tiene infinitas soluciones.
La gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas es una recta.
La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales es el punto de intersección de las dos rectas.
Los métodos analíticos para resolver sistemas son sustitución, igualación y reducción.
Si a/a' ≠ b/b' el sistema es compatible determinado, con solución única y rectas secantes.
Si a/a' = b/b' ≠ c/c' el sistema es incompatible, sin solución y con rectas paralelas.
Si a/a' = b/b' = c/c' el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones y rectas coincidentes.

Ponte a prueba

1) Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales son expresiones algebraicas de primer grado con varias incógnitas. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas responden a la ecuación general: ax + by = c.

Solución de una ecuación lineal

Es todo par de valores de las incógnitas que verifique la ecuación. Sean x₁, y₁ dos números reales; el par es solución de la ecuación lineal de dos incógnitas anterior si: ax₁ + by₁ = c. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones.

Representación gráfica

La ecuación ax + by = c tiene como representación gráfica una recta. Cada punto de dicha recta es solución de la ecuación.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema lineal de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Solución de un sistema lineal

Es todo par de valores de las incógnitas (x₁, y₁) que verifican las dos ecuaciones. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen la misma solución.

Resolución gráfica

La solución del sistema será el punto de intersección de las dos rectas que representan a cada ecuación.

Resolución analítica

a) Modo de sustitución

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.
Se resuelve la ecuación lineal con una incógnita así obtenida.
Se calcula el valor de la otra incógnita en la ecuación del primer paso.

b) Modo de igualación

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas.
Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la conocida en una de las ecuaciones.

c) Método de reducción

Se igualan los coeficientes de una incógnita hallando su mínimo común múltiplo.
Se suman o restan las dos ecuaciones, eliminándose esa incógnita.
Se resuelve la ecuación obtenida.
Se sustituye el valor calculado en una de las ecuaciones iniciales para obtener el valor de la otra inicial.

Discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sea el sistema:
ax + by = c
a'x + b'y = c'

a) Si a/a' ≠ b/b': El sistema es compatible determinado. Tiene solución única y las rectas son secantes.
b) Si a/a' = b/b' ≠ c/c': El sistema es incompatible. No tiene solución y las rectas son paralelas.
c) Si a/a' = b/b' = c/c': El sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones y las rectas son coincidentes.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas?

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada par de valores que la verifica es una solución y todos los puntos de su recta representan soluciones.

¿Cómo se sabe si un sistema lineal no tiene solución?

Un sistema es incompatible cuando a/a' = b/b' ≠ c/c'. En ese caso las rectas son paralelas y no tienen ningún punto en común.

¿Qué diferencia hay entre el método de sustitución y el de igualación?

En sustitución se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. En igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.