Chuletas y apuntes de Matemáticas

Estabilidad y Comportamiento de Sistemas Discretos

Un sistema discreto con una secuencia de impulso es estable si dicha secuencia tiende a cero. En el caso de una respuesta al escalón, el sistema se estabiliza alcanzando una altura determinada.

Parámetros de Tiempo y Frecuencia

• Step normal: tiempo/20, tiempo/30, tiempo/70.
• Cálculo del periodo en diagramas de Bode: π / rad.
• Condiciones: Sube y baja a la vez; no debe haber ceros ni polos en el origen.
• Bode en Lazo Abierto (L.A.): Puede ser negativo.
• Bode en Lazo Cerrado (L.C.): No puede ser negativo.

Efectos del Periodo de Muestreo

Caso 1: Polos Reales a Complejos Conjugados

Sea un sistema continuo y estable de orden 2, tal que ambos polos son reales. Se escoge un periodo de muestreo y se obtiene el... Continuar leyendo "Fundamentos de Sistemas Discretos y Control en el Espacio de Estados" »

1. Optimización mediante Programación Lineal: Distribución de Suministros

Definición de Variables

• $x$: Número de camiones de agua.
• $y$: Número de camiones de medicinas.

Restricciones del Problema

Las limitaciones operativas se expresan mediante las siguientes inecuaciones:

• $x + y \leq 27$ (Restricción de capacidad total máxima).
• $x \geq 12$ (Se requiere un mínimo de camiones de agua).
• $y \geq \frac{1}{2}x$ (La cantidad de medicinas debe ser mayor o igual a la mitad de la cantidad de agua).
• $x \geq 0, \ y \geq 0$ (Restricciones de no negatividad).

Función Objetivo (Coste a Minimizar)

El objetivo es minimizar el coste total $C(x, y)$:

$$C(x, y) = 9000x + 6000y$$

Vértices del Recinto Factible

Los puntos extremos que definen la región factible son:... Continuar leyendo "Optimización de Recursos Logísticos y Cálculo Integral: Ejercicios Resueltos" »

Propiedades del Ajuste Lineal

1. La suma de los residuos es nula.
2. La media observada de Y coincide con la media de los valores calculados.
3. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores de la variable independiente es nula.
4. La suma de los productos de los residuos correspondientes a los valores del ajuste lineal es nula.
5. Los valores residuales permanecen invariables si efectuamos el ajuste con los valores de variables tomadas en desviaciones a sus respectivas medias.
6. La varianza de la variable dependiente (Y) se puede expresar como la suma de la varianza de los valores y la varianza de los residuos.

Conceptos de Regresión y Covarianza

Regresión

Búsqueda de una función matemática sencilla que exprese lo mejor posible la relación... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Regresión Lineal y Modelos Probabilísticos" »

I) Resolución de ecuaciones cuadráticas simples

• a) 5x²-80=0 → 5x²=80 → x²=16 → x=4
• b) 7x²+14x=0 → 7x²=-14x → x²=-2x → x=-2
• c) (x-6)(x-3)=18 → x²-3x-6x+18=18 → x²=9x → x=9

II) Ecuaciones con productos y términos independientes

• d) (x-4)(x+7)=3(x-1) → x²+7x-4x-28=3x-3 → x²=25 → x=5
• a) x²+2x-80=0 → (x-8)(x+10)=0 → x₁=8, x₂=-10
• b) (x-4)²=4(x-4) → x²-8x+16=4x-16 → x²-12x+32=0 → (x-4)(x-8)=0 → x₁=4, x₂=8

III) Aplicación de la fórmula general

• a) 3x²+11x-4=0 (A=3, B=11, C=-4) → x₁=1/3, x₂=-4
• b) x(x-1)=2(x+5) → x²-x=2x+10 → x²-3x-10=0 → x₁=5, x₂=-2

IV) Discriminante y naturaleza de las raíces

• a) 7x²-30x+8=0 (A=7, B=-30, C=8) → x₁=4, x₂=2/7 (Raíces reales y distintas)
• b) 2x²+5x+15=0 (A=2, B=5, C=15) → Raíces

Conceptos Fundamentales de Funciones y Relaciones

Conceptos Básicos

Relaciones Matemáticas: Conjunto de parejas ordenadas X y Y, donde la relación es un subconjunto del producto cartesiano.

Función: Es un conjunto de pares ordenados de números X y Y, donde nunca se repite el primer número.

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.

Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.

Codominio: Es el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función.

Formas de Representación

Verbal: Mediante una descripción en palabras.

Algebraica: Mediante una fórmula explícita.

Diagrama de Flechas: De un conjunto a otro, indicar la relación de cada valor.

Pares Ordenados: Se representa... Continuar leyendo "Definiciones Clave de Funciones y Relaciones" »

Examen 1

1. 1/5 √2·3^3 - 1/2 √2·3^2 + 1/10 √2^3·3 -> 1/5 ·3√6 - 1/2 ·3√2 + 1/10 ·10√6 -> 8√6/5 -3√2/2

2. √18y - √2y + 5/2 · √8y - 4/3 · √9y -> 3√2y - √2y + 5/2 ·2 √2y - 4/3 · 3√y -> 7√2y - 4√y

3. ^3√3a^5b · √2ab^4 = ^6√3^2a^10b^2 · 2^3a^3b^12 -> ^6√3^2a^13b^142^3 -> a^2b^2 ^6√3^2ab^22^3

^3√a·a^8 -> ^6√a^a -> a^6√a^3 -> a√a

4. 9 ^3√6 - 4 ^3√6 + ^3√6 -> 6 ^3√6 / a^3 b^3 c^4 ^3√c^2

5. log2 0,125=x -> log2(2^-3)=x->-3=x->-3

logx 3=-1-> 1/3

log5 x=3-> x=5^3-> x=125

logx 0,04=-2-> 0,04=x^-2 (1/25) =x^-2-> 1/25 =1/x^2=x^2=+/-√25=+/-5

6. log 18->descomp. factors-> log=log (2·3^2) = log 2+log 3^2->log3^2=2log3->log... Continuar leyendo "Resolucions d'Exàmens de Matemàtiques: Guia Completa i Detallada" »

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,