Cálculo Multivariable: Derivadas Parciales, Planos Tangentes y Extremos Relativos

Derivadas Parciales

Definición de f_y:

f_y = lim_Δy→0 [f(a, b + Δy) - f(a, b)] / Δy

Interpretación geométrica: Representa la pendiente de la recta tangente en el punto (a, b, f(a,b)) a la curva C₂, resultante de la intersección entre la superficie z = f(x,y) y el plano x = a.

Ecuación del Plano Tangente

La fórmula general es: z - z₀ = f_x(P₀) · (x - x₀) + f_y(P₀) · (y - y₀)

1. Reacomodo: Ajustar la función f(x,y) original si es necesario.
2. Cálculo de z₀: Reemplazar x e y en la función original.
3. Derivadas parciales: Calcular f_x y f_y y evaluarlas en el punto P₀.
4. Sustitución: Aplicar los valores en la fórmula del plano.
5. Forma final: Igualar a 0 y despejar.
6. Gráfico: Intersecciones con los ejes (a=b; c=0).

Extremos Relativos

Condición Necesaria (CN)

Si z = f(x,y) tiene un valor máximo o mínimo relativo en un punto (a,b) de su dominio y las derivadas primeras existen, entonces: f_x(a,b) = 0 y f_y(a,b) = 0.

• Un punto del dominio donde f_x y f_y se anulan, o donde alguna no existe, se denomina punto crítico.

Condición Suficiente (CS) y el Hessiano

Sea (a,b) un punto crítico de z = f(x,y) con derivadas continuas. Definimos el determinante Hessiano:

H = f_xx · f_yy - (f_xy)²

• H > 0 y f_xx > 0: Mínimo relativo.
• H > 0 y f_xx < 0: Máximo relativo.
• H < 0: Punto de silla.
• H = 0: Sin conclusión.

Definiciones de Máximos y Mínimos

• Máximo: f(x₁, y₁) > f(x,y) para todo (x,y) en un entorno de (x₁, y₁).
• Mínimo: f(x₀, y₀) < f(x,y) para todo (x,y) en un entorno de (x₀, y₀).

Aplicaciones en Situaciones Problemáticas

1. Derivación: Calcular f_x y f_y.
2. Evaluación: Valuar en el punto (x,y) dado.
3. Interpretación:
   • Si se produce 1 unidad más del producto x (manteniendo y constante), el costo aumentará/disminuirá según el valor de la derivada.
   • Subir 1 unidad del producto x (manteniendo y constante) aumentará/reducirá la utilidad.
   • Aumentar 1 unidad de x (con y fijo) hará que la producción aumente/disminuya.