Chuletas y apuntes de Matemáticas

FUNCIONES RADICALES

• Función radical: Definida con la variable “x” en el radicando de una raíz. F(x) = √x

• Con índice par: Su dominio se forma por los valores que hacen que el radicando no sea negativo, y se representa con una rama de parábola horizontal.

• Con índice impar: Su dominio está formado por todos los números reales (Ʀ), y se representa mediante dos ramas de dos parábolas distintas.

FUNCIONES “A TROZOS”

• Función a trozos: Formada por una uníón de varias partes de otras funciones.

• Se expresa analíticamente mediante llaves ({).

• Los trozos pueden venir determinados por sus dominios.

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

• Suma de un número a una función:
Si sumamos un número a una función, su gráfica queda

1. Definición de Función

• Función: Una relación 𝑓:𝐴→𝐵f:AB donde cada elemento de 𝐴A (dominio) está relacionado con un único elemento de 𝐵B (codominio).

2. Notación y Tipos de Funciones

• Notación: 𝑓(𝑥)f(x) representa la imagen de 𝑥x bajo la función 𝑓f.
• Funciones inyectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, como máximo, un elemento de 𝐴A.
• Funciones suprayectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, al menos, un elemento de 𝐴A.
• Funciones biyectivas: Inyectiva y suprayectiva a la vez (cada elemento de 𝐵B es imagen de un único elemento de 𝐴A).

3. Dominio y Rango

• Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de entrada 𝑥x (denotado Dom(𝑓)Dom(f)).
• Rango: Conjunto de todos los posibles valores de

Polinomio de Taylor y Límites

Dada la función: f(x) = e^(-2x) + ∫₀^(x²) e^(t²) dt

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 de f en 0

Evaluamos f(0): f(0) = e⁰ + ∫₀⁰ e^(t²) dt = 1 + 0 = 1

Calculamos la primera derivada f'(x): Por el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena: d/dx [ ∫₀^(x²) e^(t²) dt ] = e^((x²)²) · d/dx(x²) = 2x · e^(x⁴). Por lo tanto: f'(x) = -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f'(0) = -2 e⁰ + 2(0) e⁰ = -2 + 0 = -2.

Calculamos la segunda derivada f''(x): f''(x) = d/dx [ -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴) ] = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 2x (4x³ e^(x⁴)) = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 8x⁴ e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f''(0) = 4(1) + 2(1) + 0 = 6.

Construimos el Polinomio de Taylor

Hallar los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2.

Solución:

La recta y=3x+2 tiene pendiente
3. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así la pendiente de la tangente tiene que ser 3 y como la pendiente de la tangente a la gráfica en un punto es igual a la derivada en ese punto, tenemos que encontrar un punto en el que la derivada valga 3. F ´(x)=3x² f ´(x)=3->3x²=3->x=±1 Si x=-1->f(-1)=-1->P(-1,-1) Si x=1->f(1)=1->Q(1,1) Luego los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2 son los puntos P(-1,-1) y Q(1,1).------------------------------------------------------------... Continuar leyendo "Cálculo Diferencial Aplicado: Optimización de Áreas y Pendientes de Rectas Tangentes" »

Reglas Principales de Derivación

Derivada de Suma y Resta

y = f(x) + g(x) ⇒ y′ = f′(x) + g′(x)
y = f(x) − g(x) ⇒ y′ = f′(x) − g′(x)

Derivada de un Número Real (Constante por Función)

y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto

y = f(x) · g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente

y = f(x) / g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / [g(x)]²

Resolución de Indeterminaciones

• Indeterminación 0/0:
  • Racional: Descomponer en factores y simplificar.
  • Con raíz: Multiplicar y dividir por el conjugado tanto arriba como abajo (ejemplo: si es 1 − √(2x+1), el conjugado será 1 + √(2x+1)).
• Indeterminación ∞/∞: Observar el grado de los polinomios:
  • Si G_n > G_d: el resultado es ±∞.

Els nombres racionals

Exercici 1

Dades: catet oposat = 4 cm, hipotenusa = 20,2 cm.

Catet continu: c² = a² + b² → 20,2² = 4² + b² → 408,04 = 16 + b² → b² = 392,04 → b = 19,8 cm

Raons trigonomètriques:

• sin α = 4 / 20,2 = 0,198
• cos α = 19,8 / 20,2 = 0,98
• tan α = 4 / 19,8 = 0,2

Angles: α = arcsin(0,198) = 11,4°; β = 180° - 90° - 11,4° = 78,6°

Exercici 2

Dades: desnivell = 800 m, carretera = 10.000 m.

sin α = oposat / hipotenusa = 800 / 10.000 = 0,08

α = arcsin(0,08) = 4,58°

Exercici 3

Apartat a

Angle de referència: arctan(0,58) = 30,11°. Al tercer quadrant, l'angle real és: 180° + 30,11° = 210,11°.

• sin(210,11°) = −0,50
• cos(210,11°) = −0,86
• tan(210,11°) = 0,58
• sec = 1/cos = −1,16
• cosec = 1/sin = −2
• cotan = 1/tan = 1,72

Apartat b

arcsin(0,92)... Continuar leyendo "Resolució d'exercicis de trigonometria pas a pas" »

Resumen de Conceptos de Muestreo Estadístico

Definiciones Principales

Muestra: es la porción de los elementos de una población, seleccionados para hacer un examen o medición directos.

Muestreo aleatorio o probabilístico: método para seleccionar una muestra de una población donde todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de figurar en la muestra.

Muestreo aleatorio simple: métodos para seleccionar muestras que permitan a las posibles muestras tener igual posibilidad de ser seleccionadas y a los elementos de la población entera tener igual posibilidad de figurar en la muestra.

Muestreo de juicio: método para seleccionar una muestra de una población, en el cual el juicio o experiencia personal se usa para identificar... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Muestreo Estadístico y Probabilidad" »

Competencia Perfecta

Obtención de Variables de Equilibrio a Largo Plazo (LP)

Equilibrio LP: P = CMg

1. 1- Calcular CMg y CTMe.
2. 2- Igualar CMg y CTMe.
3. 3- Sustituir q en el CMg.
4. 4- Sustituir P en la demanda.
5. 5- Calcular el número de empresas en la industria: n = (valor del paso 4) / (valor de q del paso 2).
6. 6- Calcular los beneficios: B = P * Q - CT (con los valores de q).

Cálculo de Variables de Equilibrio a Corto Plazo (CP) con Caída de la Demanda

1. 1- Calcular la oferta de la empresa (qs): qs -> P = CMg (calculado en el apartado 1).
2. 2- Calcular la oferta de la industria (Qs): Qs = n (calculado en el apartado 5) * qs. Ejemplo: Qs = 100P - 200.
3. 3- Igualar Qs = Qd para encontrar el nuevo equilibrio.
4. 4- Sustituir P en Qs para obtener Q. Ejemplo: Q(P del

Tipus de Funcions

Funcions Racionals

Definició: Les funcions racionals són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus: F(x) = P(x)/Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

Definició: És una funció racional del tipus F(x) = K/x, amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Funcions Exponencials

Les funcions exponencials més senzilles són del tipus F(x) = a^x, en què 'a' és un nombre real positiu (a > 0) i diferent d'1 (a ≠ 1).

Característiques de les Funcions Exponencials

• Domini: Tots els nombres reals (ℝ).
• Recorregut: (0, +∞). La 'y' sempre pren valors positius.
• Sempre passa pel punt (0,1).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.