Chuletas y apuntes de Matemáticas

Reglas Principales de Derivación

Derivada de Suma y Resta

y = f(x) + g(x) ⇒ y′ = f′(x) + g′(x)
y = f(x) − g(x) ⇒ y′ = f′(x) − g′(x)

Derivada de un Número Real (Constante por Función)

y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto

y = f(x) · g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente

y = f(x) / g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / [g(x)]²

Resolución de Indeterminaciones

• Indeterminación 0/0:
  • Racional: Descomponer en factores y simplificar.
  • Con raíz: Multiplicar y dividir por el conjugado tanto arriba como abajo (ejemplo: si es 1 − √(2x+1), el conjugado será 1 + √(2x+1)).
• Indeterminación ∞/∞: Observar el grado de los polinomios:
  • Si G_n > G_d: el resultado es ±∞.

Els nombres racionals

Exercici 1

Dades: catet oposat = 4 cm, hipotenusa = 20,2 cm.

Catet continu: c² = a² + b² → 20,2² = 4² + b² → 408,04 = 16 + b² → b² = 392,04 → b = 19,8 cm

Raons trigonomètriques:

• sin α = 4 / 20,2 = 0,198
• cos α = 19,8 / 20,2 = 0,98
• tan α = 4 / 19,8 = 0,2

Angles: α = arcsin(0,198) = 11,4°; β = 180° - 90° - 11,4° = 78,6°

Exercici 2

Dades: desnivell = 800 m, carretera = 10.000 m.

sin α = oposat / hipotenusa = 800 / 10.000 = 0,08

α = arcsin(0,08) = 4,58°

Exercici 3

Apartat a

Angle de referència: arctan(0,58) = 30,11°. Al tercer quadrant, l'angle real és: 180° + 30,11° = 210,11°.

• sin(210,11°) = −0,50
• cos(210,11°) = −0,86
• tan(210,11°) = 0,58
• sec = 1/cos = −1,16
• cosec = 1/sin = −2
• cotan = 1/tan = 1,72

Apartat b

arcsin(0,92)... Continuar leyendo "Resolució d'exercicis de trigonometria pas a pas" »

Resumen de Conceptos de Muestreo Estadístico

Definiciones Principales

Muestra: es la porción de los elementos de una población, seleccionados para hacer un examen o medición directos.

Muestreo aleatorio o probabilístico: método para seleccionar una muestra de una población donde todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de figurar en la muestra.

Muestreo aleatorio simple: métodos para seleccionar muestras que permitan a las posibles muestras tener igual posibilidad de ser seleccionadas y a los elementos de la población entera tener igual posibilidad de figurar en la muestra.

Muestreo de juicio: método para seleccionar una muestra de una población, en el cual el juicio o experiencia personal se usa para identificar... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Muestreo Estadístico y Probabilidad" »

Competencia Perfecta

Obtención de Variables de Equilibrio a Largo Plazo (LP)

Equilibrio LP: P = CMg

1. 1- Calcular CMg y CTMe.
2. 2- Igualar CMg y CTMe.
3. 3- Sustituir q en el CMg.
4. 4- Sustituir P en la demanda.
5. 5- Calcular el número de empresas en la industria: n = (valor del paso 4) / (valor de q del paso 2).
6. 6- Calcular los beneficios: B = P * Q - CT (con los valores de q).

Cálculo de Variables de Equilibrio a Corto Plazo (CP) con Caída de la Demanda

1. 1- Calcular la oferta de la empresa (qs): qs -> P = CMg (calculado en el apartado 1).
2. 2- Calcular la oferta de la industria (Qs): Qs = n (calculado en el apartado 5) * qs. Ejemplo: Qs = 100P - 200.
3. 3- Igualar Qs = Qd para encontrar el nuevo equilibrio.
4. 4- Sustituir P en Qs para obtener Q. Ejemplo: Q(P del

Tipus de Funcions

Funcions Racionals

Definició: Les funcions racionals són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus: F(x) = P(x)/Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

Definició: És una funció racional del tipus F(x) = K/x, amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Funcions Exponencials

Les funcions exponencials més senzilles són del tipus F(x) = a^x, en què 'a' és un nombre real positiu (a > 0) i diferent d'1 (a ≠ 1).

Característiques de les Funcions Exponencials

• Domini: Tots els nombres reals (ℝ).
• Recorregut: (0, +∞). La 'y' sempre pren valors positius.
• Sempre passa pel punt (0,1).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.

Gerra Hotzaren Ezaugarriak

Blokeen Ezaugarriak

• Mendebaldeko blokea: Sistema politiko demokratikoa, ekonomia kapitalista eta ideologia liberala.
• Bloke komunista: Sistema politiko totalitarioa, ekonomia planifikatua eta ideologia marxista.

Elkarren Aurkako Erabilera

• Armamentu-norgehiagoka etengabea, batez ere armategi nuklearrari dagokionez.
• Propaganda ideologikoa.
• Subertsioa eta aurkako blokearen espioitza, zerbitzu sekretuen bidez (CIA eta KGB).
• Eragin-eremuen mugatzea, desadostasunik gabe.
• Presio politiko eta ekonomikoak, bai estatu aliatuei, bai aurkako blokekoei.
• Tokiko gerrak, lurraldeak hedatzeko.

Gerra Hotzeko Gertakari Garrantzitsuak

Marshall Plana (1948)

AEBek sortutako diru-laguntza programa, Europako herrialde kapitalisten ekonomia suspertzeko.... Continuar leyendo "Gerra Hotza: Ezaugarriak, Gertakariak eta Ondorioak" »

Estrategias de Cálculo Mental

Recolocación

Consiste en cambiar o recolocar mentalmente los números agrupándolos en familias que den la unidad seguida de ceros. Ejemplo: 47 + 86 + 53 + 14 se puede pensar así: (47 + 53) + (86 + 14) = 100 + 100.

Descomposición

Consiste en descomponer uno o más términos para transformar la operación en otra equivalente más cómoda.

• 77 + 148 = 70 + 7 + 130 + 18 = (70 + 130) + (18 + 7)
• 243 - 75 = 100 + (100 - 75) + 43 = 100 + 25 + 43

Redondeo

Se trata de alterar los dos términos de una operación buscando el redondeo a ceros, al menos de uno de ellos. En la adición el redondeo se hace por compensación. En la sustracción el redondeo se hace por conservación.

Redondeo en la Adición

Por compensación: añadir... Continuar leyendo "Técnicas de Cálculo Mental para Sumas y Restas Rápidas" »

Estadística Descriptiva

Definiciones y Cálculos

• Xi: Valor de la variable estadística.
• fi: Frecuencia absoluta (número de veces que se repite Xi).
• Fi: Frecuencia absoluta acumulada (sumatorio de fi).
• hi: Frecuencia relativa (fi dividido por el número total de datos).
• Hi: Frecuencia relativa acumulada (sumatorio de hi).
• Pi: Porcentaje (hi multiplicado por 100).
• xifi: Producto de Xi por fi.

Cálculo de la Moda

La moda se determina identificando el valor de Xi que corresponde al valor más alto de fi.

Cálculo de la Mediana

Para calcular la mediana, se divide el número total de datos entre 2. Se busca este valor (o el siguiente superior) en la columna Fi. El valor de Xi correspondiente es la mediana. Si el valor coincide exactamente con un valor en... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva y Ecología: Conceptos Clave" »