Chuletas y apuntes de Matemáticas

Fundamentos de Álgebra

Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras conectados por signos de operaciones aritméticas.

Monomio

Un monomio es la expresión más simple y está formada por productos entre letras y números. Los números se denominan coeficientes y las letras se denominan parte literal.

Características de un Monomio

1. El factor 1 no se coloca; se sobreentiende su existencia y solo se usa para sumar o restar coeficientes o exponentes.
2. El signo de multiplicación entre el coeficiente y la parte literal no se utiliza.
3. El exponente de la parte literal no se coloca cuando es igual a 1; se utiliza para determinar el grado del monomio.

Grado del Monomio

El grado del monomio es el número que resulta de la...

Relación Binaria de Orden y de Equivalencia sobre un Conjunto A

Dado un conjunto $A$, una relación binaria en $A$ es un subconjunto $R$ del producto cartesiano $A \times A$, es decir, $R \subseteq A \times A$.

Relación de Orden

La relación $R$ es de orden si cumple las siguientes tres propiedades de las relaciones binarias:

• Reflexiva

  Se cumple si para todo elemento $a \in A$, se tiene $aRa$. (Ejemplo: $1R1, 2R2, \dots$)

• Antisimétrica

  Si $aRb$ y $bRa$, entonces $a=b$. (El ejemplo original es confuso, pero la propiedad se cumple si, por ejemplo, existe $1R2$ y no existe $2R1$, a menos que $1=2$).

• Transitiva

  Si $aRb$ y $bRc$, entonces $aRc$. (Ejemplo: si existe $1R2$ y $2R3$, por tanto, existe $1R3$).

Relación de Equivalencia

Así mismo, una relación...

Clasificación de Variables

• Variables discretas: Son aquellas en las que los valores son esencialmente enteros o, si no son necesariamente enteros, su número es finito y cerrado.
• Variables continuas: Son las que describen valores dentro de un intervalo de números reales (ejemplos: edad, notas, peso).

Intervalos y Límites

• Límites reales: Son aquellos intervalos donde el final del primer intervalo no coincide con el comienzo del segundo.
• Límites aparentes: En este caso, el último elemento de cada intervalo siempre se considera al comenzar el segundo intervalo.

Medidas de Frecuencia

• Marca de clase (xi): Es el promedio aritmético entre el límite superior e inferior del intervalo.
• Frecuencia total (n): Corresponde al número total de observaciones.

2. Criterio del límite para series de términos positivos

Dadas dos series de términos positivos ∑_n=1^∞ a_n y ∑_n=1^∞ b_n:

• a) Si ∑_n=1^∞ a_n converge y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ ℝ (es decir, l ≠ +∞), entonces ∑_n=1^∞ b_n converge.
• b) Si ∑_n=1^∞ a_n diverge y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ ℝ con l ≠ 0 o lim_n→∞ (b_n/a_n) = +∞, entonces ∑_n=1^∞ b_n diverge.

Demostración

Antes de demostrar los distintos casos, obsérvese que si lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ &Ropf;, entonces para todo ε > 0 existe un n₀ tal que para todo n ≥ n₀ se cumple l - ε < b_n/a_n < l + ε, y por tanto (l - ε)a_n < b_n < (l + ε)a_n.

Así pues, se puede decir que ∑_n=1^∞ (l - ε)a_n y ∑_n=1^∞ (l + ε)a_n son una minorante y mayorante...

TEST DE DIFERENCIA DE MEDIAS (DATOS ALEATORIOS O NO)

Primero miramos si provienen de una distribución normal. Si provienen de una distribución normal, miramos si las varianzas son iguales o no; luego miramos la comparación de medias: si las medias son iguales, los datos serán aleatorios. Si no se supone normalidad, miramos directamente la comparación de medianas; si aceptamos la hipótesis nula de igualdad de medianas, los datos perdidos son aleatorios.

Normalidad

Sesgo y curtosis: los valores tienen que estar comprendidos entre -2 y 2.

Shapiro–Wilk: Debido a que el p‑valor de la prueba realizada (0,02) es menor que alfa (0,05), rechazamos la hipótesis nula de que empleo proviene de una distribución normal con un nivel de confianza del...

Introducción a la Estadística Descriptiva e Inferencial

El análisis descriptivo es el punto de partida para el estudio de las poblaciones. Por otro lado, la inferencia estadística requiere de una herramienta fundamental llamada probabilidad, que permite medir el grado de incertidumbre en las conclusiones.

Distribuciones de Probabilidad Clave

En estadística, se utilizan diferentes modelos de probabilidad para describir el comportamiento de los datos. Algunos de los más importantes son:

• Distribución de Poisson: Surge del estudio del número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio determinado.
• Distribución Normal: Es una distribución simétrica, donde los valores más probables se concentran en el centro y los menos probables

Conceptos Fundamentales en la Selección de la Muestra y el Universo

La correcta definición de los elementos de estudio es crucial para la validez de cualquier investigación. A continuación, se definen los términos esenciales:

Universo

Grupo o colectivo de personas en el que se concentra nuestro interés de conocimiento. Es la población total con la que se trabaja (comunidad, grupo profesional, grupo etario, archivo clínico, ciudades, países, o cualquier conglomerado donde ocurre el fenómeno de estudio).

Población

Conjunto de todos los casos que concuerdan con determinadas especificaciones definidas por el investigador.

Muestra

Subconjunto representativo de la población del cual se recolectan los datos. En ella se localizan las unidades

Conceptos Fundamentales de Estadística

Población: Colección de los valores que toma la variable, es decir, a la colección de los resultados de medición en todos los individuos, objetos o entidades en los que interese medir la característica.

Muestra: Subcolección de la población constituida por los valores que toma la variable en algunos de los individuos, objetos o entidades en los que interesa medir la característica.

Las Tres Partes de la Estadística

La estadística tiene 3 partes:
Planeación: Consiste en la búsqueda y obtención de la información, incluye métodos que permiten diseñar un esquema para la muestra representativa de la población.

Estadística descriptiva: Se encarga de sistematizar y organizar la información contenida...

El Modelo Lineal de Regresión Múltiple

El modelo lineal uniecuacional múltiple estudia la relación lineal entre una variable dependiente Y y más de una variable independiente X_i, sumado a un término aleatorio.

El objetivo principal es estimar las cantidades constantes presentes en el modelo, así como evaluar la bondad de la estimación realizada.

Supuestos del Modelo

La perturbación aleatoria está centrada, es homocedástica e incorrelada. Asimismo, no existe relación entre las variables independientes y la perturbación aleatoria.

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

La expresión fundamental es: Y = f(x) = β₁ + β₂X_t + U_t, donde el residuo se define como e_t = Y_t - Ŷ_t.

Los errores o residuos representan la diferencia entre los valores...

Conceptos Básicos

• LOG: Logaritmo decimal (base 10).
• LN: Logaritmo neperiano o natural (base e).

Sistemas de Ecuaciones 2x2

Existen diversos métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:

I. Método Gráfico

Despejar la variable "y" en ambas ecuaciones, realizar una tabla asignando valores a "x", reemplazar dichos valores en las ecuaciones despejadas y graficar si es necesario.

II. Método de Sustitución

Despejar cualquier variable en una de las ecuaciones, reemplazarla en la otra ecuación, resolver para la variable restante y finalmente sustituir este valor en la ecuación original (3).

III. Método de Reducción

Igualar los coeficientes de una incógnita (multiplicando o restando las ecuaciones), despejar la variable resultante...