Chuletas y apuntes de Matemáticas

Expresiones Algebraicas y Ecuaciones

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se denominan variables.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las variables son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. Los monomios que tienen la misma parte literal se denominan semejantes.

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios. Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo forman.

División de Polinomios

Un monomio es divisible por otro cuando al dividir se obtiene otro monomio.... Continuar leyendo "Expresiones Algebraicas y Ecuaciones: Conceptos y Resolución" »

Interpretación de Coeficientes de Regresión

A continuación, se presentan las interpretaciones de los modelos más comunes, manteniendo las demás variables constantes:

• Modelo Log-Lin: Se espera que ante un aumento del 1% en TPM, el tipo de cambio disminuya (100 * 0,12) un 12%.
• Modelo Log-Log: Se espera que ante un aumento del 1% en PCobre, el tipo de cambio disminuirá en 0,41%.

Medidas de Bondad de Ajuste

• R² (Coeficiente de Determinación): Un porcentaje de la variabilidad del "tipo de cambio" se explica con un modelo lineal.
• R² Ajustado: Considera el número de variables utilizadas en el modelo.

Interpretación de Variables Dummy

• Dummy (Log-Lin): Se espera que durante una "crisis", el TC aumente (0,10 * 10) un 10%, a diferencia de cuando no

Fundamentos de la Teoría de Grafos

Un grafo es un conjunto formado por vértices y un conjunto de arcos o aristas (edges en inglés) que son un conjunto de duplas .

Definiciones Básicas

Grafo Dirigido

Un grafo es dirigido si hay un arco de a pero no de a para algún . Es decir, si los arcos “tienen flechas”.

Adyacencia

Un vértice es adyacente de si .

Camino

Existe un camino de a si con todos los . Un camino es simple si no se repite ningún vértice en el trayecto de ese camino.

Longitud de un Camino

La longitud de un camino es el número de arcos que hay que tomar para llegar al último vértice desde el primero.

Ciclo

Un ciclo es un camino de a . Un ciclo es simple si no se repite ningún vértice excepto el primero y el último.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales y Algoritmos Clave en la Teoría de Grafos" »

Razones y Proporciones

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee a es a b.

Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 : 15 o

. Si simplificamos la fracción obtenemos:

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 • 5 = 4 • 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:

Proporcionalidad Directa

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico... Continuar leyendo "Entendiendo Razones, Proporciones y Proporcionalidad: Directa, Inversa y Compuesta" »

Operadores Lógicos y Estructuras de Control en Python

En Python, los operadores lógicos se utilizan para realizar operaciones booleanas. A continuación, se presentan los operadores básicos:

• not a: Es True si y solo si a es False.
• a and b: Es True si y solo si a y b son verdaderos.
• a or b: Es True si a y/o b son verdaderos.

Ejemplos de estructuras de control (bucles for y while):

if x == 'letra':
    s = 0
    for i in range(1, 4, 1):
        s = s + i
    print('Suma = ', s)

s = 0
i = 0
while i < 3:
    i = i + 1
    s = s + i
    print('Suma = ', s)

Estructuras de Datos: Tuplas y Diccionarios

Tuplas

A diferencia de una lista, una tupla es una secuencia inmutable de datos, lo que significa que, una vez creada, no puede ser modificada. Para... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Programación y Estadística con Python: Operadores, Estructuras de Datos y Ejemplos" »

Estadística Descriptiva: Medidas y Frecuencias

• fi (Frecuencia absoluta): Número de veces que aparece un valor en un conjunto de datos (ej. 3 de 15 personas opinaron con una calificación).
• fr (Frecuencia relativa): Se calcula como fi / n; representa la proporción de encuestados.
• fr% (Porcentaje): Se calcula como fr × 100.
• Fi (Frecuencia absoluta acumulada): Suma de las frecuencias absolutas (fi + fi + fi...).
• Fr (Frecuencia relativa acumulada): Se calcula como Fi / n.
• Mci (Marca de clase): (Valor mínimo + Valor máximo) / 2.
• Número de intervalos (k): k = √n.
• Ancho del intervalo: Rango / k.
• Rango: Valor máximo - Valor mínimo.

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Media (x̄): (Σ x · fi) / n.
• Moda: El valor con mayor frecuencia.
• Mediana:

Supuestos del Modelo de Regresión Lineal Simple

• Linealidad: La relación entre x e y debe ser aproximadamente lineal. Si no se cumple, el modelo está mal especificado.
• Homocedasticidad: La varianza de los errores es constante. Si no se cumple, las inferencias (intervalos y tests) pueden ser incorrectas.
• Normalidad de los errores: Los errores deben seguir una distribución normal, lo cual es fundamental para construir intervalos y realizar contrastes.

Intervalo de Confianza vs. Intervalo de Predicción

• Intervalo de confianza: Estima el valor medio esperado de Y para un valor dado de X.
• Intervalo de predicción: Estima una nueva observación individual de Y. Es más amplio porque incluye tanto la incertidumbre de la media como la variabilidad individual

FUNCIONES RADICALES

• Función radical: Definida con la variable “x” en el radicando de una raíz. F(x) = √x

• Con índice par: Su dominio se forma por los valores que hacen que el radicando no sea negativo, y se representa con una rama de parábola horizontal.

• Con índice impar: Su dominio está formado por todos los números reales (Ʀ), y se representa mediante dos ramas de dos parábolas distintas.

FUNCIONES “A TROZOS”

• Función a trozos: Formada por una uníón de varias partes de otras funciones.

• Se expresa analíticamente mediante llaves ({).

• Los trozos pueden venir determinados por sus dominios.

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

• Suma de un número a una función:
Si sumamos un número a una función, su gráfica queda

1. Definición de Función

• Función: Una relación 𝑓:𝐴→𝐵f:AB donde cada elemento de 𝐴A (dominio) está relacionado con un único elemento de 𝐵B (codominio).

2. Notación y Tipos de Funciones

• Notación: 𝑓(𝑥)f(x) representa la imagen de 𝑥x bajo la función 𝑓f.
• Funciones inyectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, como máximo, un elemento de 𝐴A.
• Funciones suprayectivas: Cada elemento de 𝐵B es imagen de, al menos, un elemento de 𝐴A.
• Funciones biyectivas: Inyectiva y suprayectiva a la vez (cada elemento de 𝐵B es imagen de un único elemento de 𝐴A).

3. Dominio y Rango

• Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de entrada 𝑥x (denotado Dom(𝑓)Dom(f)).
• Rango: Conjunto de todos los posibles valores de

Hallar los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2.

Solución:

La recta y=3x+2 tiene pendiente
3. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así la pendiente de la tangente tiene que ser 3 y como la pendiente de la tangente a la gráfica en un punto es igual a la derivada en ese punto, tenemos que encontrar un punto en el que la derivada valga 3. F ´(x)=3x² f ´(x)=3->3x²=3->x=±1 Si x=-1->f(-1)=-1->P(-1,-1) Si x=1->f(1)=1->Q(1,1) Luego los puntos en que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x³ es paralela a la recta de ecuación y=3x+2 son los puntos P(-1,-1) y Q(1,1).------------------------------------------------------------... Continuar leyendo "Cálculo Diferencial Aplicado: Optimización de Áreas y Pendientes de Rectas Tangentes" »