Chuletas y apuntes de Matemáticas

Función Cuadrática (y = ax² + bx + c)

Curvatura

• Se a > 0: A parábola é convexa (abre cara arriba).
• Se a < 0: A parábola é cóncava (abre cara abaixo).

Vértice (x, y)

• Coordenada x (x_v): x_v = -b / (2a)
• Coordenada y (y_v): Substitúese o valor de x_v na función orixinal para obter y_v.

Táboa de Valores e Puntos de Corte

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.
• Para atopar os puntos de corte cos eixes:
  • Eixe Y: Facer x = 0 e calcular y. O punto será (0, y).
  • Eixe X: Facer y = 0 e resolver a ecuación cuadrática para x. Os puntos serán (x, 0).

Función Afín

Táboa de Valores

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.

Continuidade

Notaciones Generales

• Población: Conjunto de todos los elementos objeto de estudio.
• Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
• Muestra: Subconjunto de la población.
• Carácter: Cada uno de los aspectos a estudiar.
• Variable: Aquella que recorre todos los valores de un carácter.
  • Cuantitativa: Toma valores numéricos. Puede ser discreta (toma valores aislados, sin decimales) o continua (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, con decimales).
  • Cualitativa: Nunca toma valores numéricos.

Tipos de Estadística

• La estadística descriptiva expone y analiza caracteres de individuos de una población sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
• La estadística inferencial trabaja con muestras y a partir de ellas extrae conclusiones para

1. Distribución discreta (tabla con x y P(x))

Cómo reconocerla

Si observas una tabla con valores y probabilidades:

✅ Esto es una distribución discreta.

Ejemplo típico de examen

Find the mean and standard deviation of the distribution.

Paso 1: Media (μ)

Fórmula:

μ = Σ x·P(x)

Ejemplo:

μ = (5)(0.2) + (10)(0.5) + (15)(0.3)
μ = 1 + 5 + 4.5 = 10.5

✅ Media = 10.5

Paso 2: Desviación estándar (σ)

Fórmula completa:

σ = √[ Σ (x − μ)² · P(x) ]

Ejemplo:

1️⃣ Resta la media:

• (5 − 10.5)² = 30.25
• (10 − 10.5)² = 0.25
• (15 − 10.5)² = 20.25

2️⃣ Multiplica por P(x):

30.25(0.2) = 6.05
0.25(0.5) = 0.125
20.25(0.3) = 6.075

3️⃣ Suma y raíz cuadrada:

σ² = 12.25
σ = √12.25 = 3.5

✅ σ = 3.5

📌 Clave: Si hay tabla + media

Geometría

El Ángulo

Un ángulo es la porción del plano formada por dos semirrectas de origen común. Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el origen común de los lados se llama vértice.

Designación de Ángulos

Los ángulos se designan de la siguiente forma:

• Mediante tres letras: las de los dos lados y el vértice. La letra del vértice siempre se coloca en el medio.
• Mediante la letra del vértice del ángulo.
• Mediante una letra adicional, generalmente letras griegas (ej. ángulo alpha, beta, gamma).

Clasificación y Propiedades de los Ángulos

• Ángulos contiguos: Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común.
• Ángulos adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos lados alineados.
• Ángulo recto:

Resumen de Conceptos Fundamentales en Estadística

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Media ($\bar{x}$): Suma todos los datos dividida por la cantidad de datos ($n$).
• Varianza ($\sigma^2$): Se calcula como $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
• Desviación Estándar ($\sigma$): Es la raíz cuadrada de la varianza.
• Coeficiente de Variación (CV): Se define como $\left( \frac{\text{Desviación}}{\text{Media}} \right) \times 100\%$. Se utiliza para comparar la dispersión entre conjuntos de datos con medias muy diferentes. Un CV menor indica mayor homogeneidad.

Tablas de Contingencia y Relación entre Variables

Cálculos Básicos

• Totales: Suma de filas y columnas.

Prueba de Independencia

Se verifica si la frecuencia observada en una celda es igual... Continuar leyendo "Resumen de Fórmulas y Conceptos Clave en Estadística Descriptiva e Inferencial" »

1. Clasificación de Variables y Escalas de Medición

Variables Cualitativas (Atributos)

• Ordinales: Poseen un orden intrínseco. Se representan mediante diagramas de barras.
• Nominales: No tienen orden. Se representan mediante diagramas de sectores o de barras.

Variables Cuantitativas (Numéricas)

• Discretas: No admiten valores intermedios. Se representan con diagramas de barras.
• Continuas: Admiten valores intermedios. Se representan mediante histogramas o polígonos de frecuencias.

Escalas de Medición

• Intervalo: El cero es relativo (ej. temperatura).
• Razón: El cero indica ausencia total (ej. dinero).

2. Ejercicio Práctico: Regresión y Correlación

Diagrama de Dispersión

Si los puntos siguen una tendencia clara, existe una relación directa y fuerte,... Continuar leyendo "Clasificación de Variables Estadísticas y Modelos de Regresión en Excel" »

Sucesos Independientes y Dependientes

Sucesos Independientes

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. Matemáticamente, se define como:

p(A/B) = p(A)

Sucesos Dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Se define como:

p(A/B) ≠ p(A)

Ejemplo de Extracción de Cartas

De una baraja de 48 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1. Las dos sean copas.
2. Al menos una sea copas.
3. Una sea copa y la otra espada.

Ejemplo de Gestión de Taller

Un taller sabe que, por término medio, acuden los siguientes vehículos:

• Por la mañana: tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos

Ejercicio 1: Datos No Agrupados

Tabla:

xi: 0 1 2 3 4 5 6 7 fi: 1 2 4 7 1 1 3 1 N=30

hi: 0,05 0,1 0,2 0,35 0,05 0,05 0,15 0,05 Σ=1 xifi: 0 2 8 21 4 5 18 7 Σ=65

xi²fi: 0 2 16 63 16 25 108 49 Σ=279

Cálculos:

• Media (X) = 65/20 = 3,25
• Moda (Mo) = (fi=7) = 3
• Mediana (Me) = N/2 = 15 → (Fi=7) Me = 3
• Varianza (δ²) = 279/20 - (3,25)² = 3,39
• Desviación Típica (δ) = √3,39 = 1,84
• Coeficiente de Variación (CV) = 1,84/3,25 = 0,57 → Homogénea

Gráfica:

• fi = xi (empezar de 0)
• Fi: 2 en 2 hasta 20. Línea hasta abajo.

Ejercicio 2: Datos Agrupados

Tabla:

Intervalos: [146,5 - 151,5) [151,5 - 156,5) [156,5 - 161,5) [161,5 - 166.5) [166,5 - 171,5) [171,5 - 177,5)

xi: 149 154 159 164 169 174

fi: 2 1 4 12 10 1 N=30

hi: 0,07 0,03 0,13 0,4 0,34 0,03 Σhi... Continuar leyendo "Análisis Estadístico de Datos Agrupados y No Agrupados" »

Estudio Completo de Funciones: Pasos Esenciales

Para comprender a fondo el comportamiento de una función, es fundamental seguir una serie de pasos sistemáticos. A continuación, se detalla la metodología para realizar un estudio completo, incluyendo el dominio, los puntos de corte, las asíntotas, el crecimiento y la concavidad.

1. Dominio de la Función

Identifica los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. Estos valores no pertenecen al dominio de la función, ya que la división por cero es indefinida.

2. Cortes con los Ejes Coordenados

• Corte con el Eje Y

  Sustituye x = 0 en la función. El punto de corte es (0, f(0)), siempre y cuando x = 0 esté en el dominio de la función.

• Cortes con el Eje X

  Iguala f(x) = 0. Esto ocurre

1. Cálculo de Proyecciones

Las proyecciones representan la diferencia entre las coordenadas de un punto y el punto anterior.

• Proyección Norte/Sur (ΔN): Latitud_actual − Latitud_anterior (Si el resultado es positivo, se ubica en la columna N; si es negativo, en S).
• Proyección Este/Oeste (ΔE): Longitud_actual − Longitud_anterior (Si el resultado es positivo, se ubica en la columna E; si es negativo, en W).