Chuletas y apuntes de Matemáticas

1. Método de Sustitución

Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.

• Paso 1: Elegimos la x de la segunda ecuación porque está sola.
  x + 2y = 8 → x = 8 - 2y
• Paso 2: Sustituimos ese valor de x en la primera ecuación.
  3(8 - 2y) - y = 3
• Paso 3: Quitamos el paréntesis multiplicando el 3.
  24 - 6y - y = 3
• Paso 4: Juntamos las y.
  -7y = 3 - 24 → -7y = -21
• Paso 5: Despejamos la y.
  y = -21 / -7 → y = 3
• Paso 6: Calculamos la x usando la ecuación del paso 1.
  x = 8 - 2(3) → x = 8 - 6 → x = 2

2. Método de Igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

• Paso 1: Despejamos la x en las dos ecuaciones.
  Primera ecuación: 3x - y = 3 → 3x = 3 + y → x = (3 + y) / 3
  Segunda ecuación: x + 2y = 8 →

Cálculo Combinatorio

Fórmulas para la selección de elementos:

• X = t + k - 1
• Y = k o Y = t - 1

Donde:

• t: tipos de elementos.
• k: cantidad a escoger (selección).

Ejemplo práctico: 27 libros, 16 de tipo A, 15 de tipo B, 10 son A y B.

Cálculo: 16 + 15 - 10 = 21. Entonces, 27 - 21 = 6.

Teoría de Grafos

Definiciones fundamentales

• Grafos isomorfos: Dos grafos G y G' son isomorfos si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices, tal que el número de aristas que unen cualquier par de vértices en G es igual al número de aristas que unen el par correspondiente en G'.
• Grafo conexo: Es aquel en el que existe un paseo entre cualquier par de vértices.
• Grafo ponderado: Grafo que tiene valores asignados a sus aristas.
• Grafo simple: Grafo que no contiene

Ejercicios Prácticos sobre la Hipérbola

Esta sección presenta una colección de problemas resueltos que ilustran la determinación de la ecuación de la hipérbola a partir de sus elementos clave (focos y vértices), así como la identificación de sus propiedades a partir de su ecuación canónica o general.

1. Determinación de la Ecuación a partir de Focos y Vértices

Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F'(-5, 0), V₁ (4, 0) y V₂ (-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibuje su gráfica e indique las asíntotas.

Solución

Como los focos están sobre el eje x, la hipérbola es horizontal y su centro es el origen C(0, 0). La ecuación canónica es de la forma: $$\frac{x^2}{a^2}... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Hipérbolas: Cálculo de Ecuaciones, Focos y Asíntotas" »

Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que, por sus características especiales, pueden ser resueltas mediante reglas fijas, sin necesidad de realizar la multiplicación paso a paso. Su dominio es fundamental para la simplificación de expresiones y la resolución de ecuaciones.

Binomio Conjugado

Un binomio conjugado es el producto de dos binomios que son idénticos, excepto por el signo de uno de sus términos. La fórmula general es:

Fórmula

(a + b)(a - b) = a² - b²

Este producto siempre resulta en una diferencia de cuadrados.

Trinomio Conjugado

Aunque el término "trinomio conjugado" no es una clasificación estándar en productos notables, el ejemplo proporcionado se refiere a una aplicación... Continuar leyendo "Productos Notables y Ecuaciones Lineales: Fundamentos Algebraicos Esenciales" »

Operaciones con paréntesis

Primero se realizan las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas.

Cuando se hace el máximo común divisor se hace: el resultado entre el denominador por el numerador.

Siempre se debe simplificar.

Expresión en forma de fracción

Decimal Periódico Puro

Ejemplo: N = 235,2 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos la parte entera (la que no es decimal).
• Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo.

Decimal Periódico Mixto

Ejemplo: 1,372 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos todas las cifras que no sean periódicas.
• Denominador: Tantos nueves como cifras periódicas tengamos y tantos ceros como cifras

Paso 1: Identificar Variables y Objetivo del Problema

Identifica las variables

Haz una lista de las variables mencionadas. Al lado de cada una, anota su tipo (cuantitativa continua/discreta, cualitativa nominal/ordinal). Este paso es fundamental y te lo preguntan directamente.

Define el objetivo

¿Qué te pide el problema? Identifica la técnica correcta según las palabras clave:

• Si te piden "describir", "explorar" o "resumir" los datos → Problema de Análisis Exploratorio de Datos (EDA).
• Si te piden "reducir la dimensionalidad", "resumir variables" o te muestran un biplot → Problema de Análisis de Componentes Principales (PCA).
• Si te piden "comparar las medias de tres o más grupos" definidos por un solo factor → Problema de ANOVA de un Factor.

Control Estadístico de Procesos (SPC) y Distribución Normal

Este compendio resume las fórmulas esenciales para la gestión de la calidad, el control estadístico de procesos (SPC) y la ingeniería de fiabilidad, cubriendo desde la capacidad del proceso hasta la modelización de fallos.

1. Modelado y Variabilidad

• Distribución de la Variable (X): La variable de interés, como el espesor de chapa (X), se modela mediante una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
• Desviación Estándar Muestral ($\sigma$ o $s$): $$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n-1}}$$

1.1. Supuestos del Modelo Normal

Para asumir un modelo normal, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Los valores alrededor de la media forman un histograma simétrico y acampanado.

Contrastes T en un modelo lineal uniecuacional

Para desarrollar la presente cuestión, abordaremos una serie de puntos fundamentales:

1. Especificación y estimación del modelo

Realizamos un estudio sobre la muestra de una población, estableciendo objetivos claros:

• Especificación: donde las variables predeterminadas X explican o determinan una variable endógena.
• Estimación de parámetros.
• Validación de modelos estimados: realizada mediante la medida del grado de ajuste, el análisis de los residuos y el coeficiente de determinación.

2. Formulación de hipótesis

En este paso, establecemos las hipótesis sobre las que consideramos que se puede estimar la muestra:

• H0: β = 0
• H1: β ≠ 0

Si aceptamos H0, se elimina xj como variable explicativa de... Continuar leyendo "Fundamentos de los Contrastes T en Modelos Lineales Uniecuacionales" »

Medidas Descriptivas y Distribuciones Fundamentales

• Respecto a las medidas de centralización: la moda puede no ser única; además, en distribuciones simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden.
• Una característica que no define a una distribución normal es: que el 99% de las observaciones caigan dentro de 2 desviaciones típicas (DT) de distancia a la media. (Nota: Aproximadamente el 95.45% de las observaciones caen dentro de ±2 DT en una distribución normal).
• El nivel de medición de una variable influye en las fórmulas estadísticas que se utilizan para probar hipótesis teóricas.
• Variables de intervalo: los intervalos entre puntos son iguales entre cualquier par de puntos de la recta. Además, permiten establecer relaciones