Chuletas y apuntes de Matemáticas

Ontogenesia eta Filogenesia

• Ontogenesia: Izaki bizidunek haien bizitzan zehar, jaio aurretik hil arte, etengabe izaten dituzten aldaketen multzoa da. Adibidez: arrautza izatetik hegazti heldu izatera.
• Filogenesia: Espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du. Espezie batzuetatik beste batzuk sortu dira, eta horrela, filum edo leinu/mota bat osatu dute.

Espeziea

Izaki bizidun multzo batek espezie bat osatzen du, kideak elkarrekin ugaltzeko gai badira eta kumea ugalkorra bada.

Filogenesiari buruzko azalpenak

Fixismoa

Norbanakoak aldatzen dira, baina espezieek inolako aldaketarik gabe irauten dute betiko. Ez dute filogenesia kontuan hartzen. Aristotelek ekin zion teoria fixistak defendatzeari, eta XIX. mendea hasi zen arte jarraitzaileak izan...

Problema 1: Estudio Completo de una Función Definida a Trozos

Sea la función $f(x)$ definida como:

$$f(x) = \begin{cases} (x+1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{4}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a) Estudio de la Continuidad y Derivabilidad

La función racional $g(x) = 4/x$ es continua y derivable en $\mathbb{R} - \{0\}$. Dado que en este tramo trabajamos con $x>1$, es continua y derivable. La función polinómica $h(x) = (x+1)^2$ es continua y derivable en $\mathbb{R}$.

Por lo tanto, solo es necesario estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión $x=1$.

Continuidad en $x=1$

• Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} (x+1)^2 = (1+1)^2 = 4$.
• Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x} = \frac{4}{1} =

Optimització: Resolució de Problemes de Màxims i Mínims

Per resoldre problemes d'optimització, seguim els següents passos:

1. Llegir bé l'enunciat i identificar les funcions implicades.
2. Unir les funcions en una sola, si és necessari.
3. Derivar la funció resultant.
4. Igualar la derivada a zero per obtenir els punts crítics (valors de x).
5. Representar els punts crítics a la recta real per buscar màxims i mínims.
6. Obtenir conclusions basades en els resultats.

Activitat 1: Suma de Quadrats Mínima

La suma de dos nombres no negatius és 36. Troba'ls per tal que la suma dels seus quadrats sigui la més petita possible.

• Sigui x el primer nombre.
• El segon nombre serà 36 - x.
• Volem que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

Per tant, la funció a minimitzar...

Primitiva de una función

Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que: F′(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b].

Integral indefinida de f

Se define como el conjunto de todas las primitivas de f; es decir, dada una función primitiva F(x) de f(x), entonces la integral indefinida de f(x) es el conjunto: {F(x) + C : C ∈ ℝ}.

Propiedades de la integral indefinida

• a) ∫ f′(x) dx = f(x) + C
• b) ∫ k ⋅ f(x) dx = k ⋅ ∫ f(x) dx, para todo k ∈ ℝ
• c) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Integral definida

Dada una función f no negativa, f(x), y un intervalo [a, b] en el cual la función esté definida, llamaremos integral definida de f(x) en [a, b]

Matrices: Definición y conceptos fundamentales

Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo.

Igualdad de matrices

Dos matrices, A y B, son iguales si, además de tener la misma dimensión, los términos que ocupan la misma posición son iguales; es decir, si A = B.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes que tiene la matriz, considerando las filas o columnas como vectores del espacio vectorial R correspondiente.

Propiedades del rango

1. El número de filas independientes de una matriz es igual al número de columnas independientes.
2. Si la matriz A es de dimensión m x n, entonces rango(A) <= min(m, n).
3. Las matrices de rango 0 son las

Orientación Instrumental en Fotogrametría

La orientación instrumental consiste en conseguir la reproducción de la posición exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea igual a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. Esta operación está compuesta por la orientación interna y la orientación externa.

Orientación Interna

Es la reconstrucción de los haces perspectivos que originaron cada imagen.

Orientación Externa

A través de ella se consigue que todos los haces perspectivos, formados en las dos proyecciones continuas mediante la orientación interna, coincidan en el espacio y tengan correspondencia unívoca con respecto al terreno; es decir, idéntica posición a la que...

Politika Autarkikoa eta Atzerapenaren Arrazoiak

Gerra Zibilaren ondoren, komunikabideak eta garraiobideak egoera oso txarrean geratu ziren, eta laborantzan zein abeltzaintzan produkzio-ekipo ugari suntsitu ziren. Gainera, Espainiako Bankuak gerra-materiala ordaintzeko 150 tona urre erabili zituen, eta horrek eragin oso negatiboa izan zuen ekonomia suspertzeko neurriak hartzerakoan. Hala ere, hori ez da nahikoa gerra ondorengo 15 urteetan Espainiako ekonomiak izan zuen atzerapen handia azaltzeko.

Atzerapen hori ulertzeko, garrantzi handiagoa du erregimen frankistak ezarritako autarkiak. Politika ekonomiko honen helburu nagusia herrialdearen buruaskitasuna lortzea da, behar duen guztia ekoitziz eta atzerriko inportazioak saihestuz. Horrela, nazioarteko...

Centros de homotecia entre las circunferencias C y C'

Objetivo: construir los posibles centros de homotecia entre dos circunferencias C y C'.

Trazo un radio OC y otro O C' paralelos. Donde la recta que une los centros C y C' corta a esas direcciones se obtiene A (centro de homotecia directa). Si trazo otra configuración análoga, obtengo A' (centro de homotecia inversa).

De forma equivalente, uniendo los centros de ambas circunferencias y trazando rectas homólogas (paralelas a radios correspondientes) se determinan ambos centros de homotecia: el centro de la homotecia directa A y el de la homotecia inversa A'.

Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia C, dado el punto de tangencia T en la circunferencia

Datos: recta r, circunferencia...