Cálculo Multivariable: Funciones Escalares, Vectoriales y Diferenciabilidad

Introducción a las Funciones de Varias Variables

Definición de Función Escalar

Una función real de n variables reales (también llamada función escalar) es cualquier aplicación de la forma:

f: ℝⁿ → ℝ
x = (x₁, …, x_n) ↦ f(x₁, …, x_n)

Definición de Función Vectorial

Una función vectorial de ℝⁿ en ℝ^m es toda aplicación:

f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ^m
x ↦ y = f(x)

Donde x = (x₁, …, x_n) ∈ A ⊂ ℝⁿ e y = (y₁, …, y_m) ∈ ℝ^m.

Definición de Dominio

Se denomina dominio de la función f al conjunto:

Dom(f) = {x ∈ ℝⁿ / ∃ f(x)}

Definición de Conjunto Imagen

Se denomina conjunto imagen de la función f al conjunto:

Im(f) = {y ∈ ℝ / y = f(x), para algún x ∈ Dom(f)}

Concepto de Curva de Nivel

Dada una función f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ y una constante k ∈ ℝ, se define la curva de nivel k de f como el conjunto de todos los puntos que tienen imagen igual a k:

C_k = {x ∈ ℝⁿ / f(x) = k} ∀ k ∈ ℝ

Definición de Función Continua en un Punto

Una función f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ es continua en un punto a ∈ A' ∩ A si y solo si:

lim_{x → a} f(x) = f(a)

Es decir, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si x ∈ A y ‖x – a‖ < δ ➔ |f(x) – f(a)| < ε.

Una función es continua en un conjunto contenido en su dominio si es continua en cada punto de este.

Una función vectorial es continua en un punto a si son continuas todas las funciones componentes en ese punto a.

Diferenciación de Funciones de Varias Variables Reales

Concepto de Derivada Direccional de una Función Real de n Variables en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ y e ∈ ℝⁿ tal que ‖e‖ = 1. Diremos que f es derivable en x₀ ∈ G siguiendo la dirección del vector e si existe el límite:

Si este límite existe, se llamará la derivada de f en x₀ según la dirección del vector e y lo denotaremos por D_ef(x₀).

Nota adicional (Derivada Parcial):

Por si lo preguntase también, se incluye el concepto de derivada parcial:

Si e = e_i, D_ef(x₀) = D_if(x₀) se llama la derivada parcial i-ésima de f en x₀.

Concepto de Vector Gradiente de una Función

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ tal que f admite derivadas parciales en x₀ ∈ G. Llamamos vector gradiente de f en x₀ al vector:

∇f(x₀) = (D₁f(x₀), D₂f(x₀), …, D_nf(x₀))

Concepto de Función Diferenciable en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ, siendo G un conjunto abierto. Decimos que f es diferenciable en x₀ ∈ G si y solo si existe ∇f(x₀) y, además:

Diremos que f es diferenciable en G si es diferenciable en cada punto de G.

Concepto de Diferencial de una Función de Varias Variables en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ, siendo G un conjunto abierto tal que f es diferenciable en x₀ ∈ G. Se llama diferencial de f en x₀ a la aplicación lineal de ℝⁿ en ℝ cuya matriz asociada es el vector gradiente ∇f(x₀); es decir:

Df(x₀): ℝⁿ → ℝ
h = x - x₀ ↦ Df(x₀)(h) = ⟨∇f(x₀), h⟩

Se puede demostrar que la aplicación diferencial, si existe, es única.