Chuletas y apuntes de Matemáticas

Exercicis resolts de funcions

1- Completa els espais en blanc de manera encertada. (1,8 punts)

• El punt (0,0) s’anomena origen de coordenades.
• L’eix horitzontal o de les x també s’anomena eix d'abscisses.
• L’eix vertical o de les y també s’anomena eix d'ordenades.
• Les funcions lineals responen a l’equació general y = mx + n.
• La representació gràfica de qualsevol funció lineal és una recta.
• Totes les funcions quadràtiques compleixen la fórmula y= ax² + bx +c si a no és 0.
• Les funcions de proporcionalitat inversa es representen mitjançant una hipèrbole.
• Les rectes imaginàries a les quals la funció s’apropa progressivament, però que no acaba travessant s’anomenen asímptotes.
• Les paràboles són corbes simètriques.

2- Defineix

Más soluciones Hoja 3

26) Circulación y Flujo de un Campo Vectorial

Circulación F_T de un campo conservativo a lo largo/a través de una curva cerrada. Flujo F_N

c^->=(x(t),y(t))

c^´->=(x´,y´) tangente a la curva

Vector unitario tangente U_T^->=c^´->/||c^´->||=(x´,y´) /√(x´²+ y´²)

F_T=F^->·U_T^->= F^->·c^´->/||c^´->||

Circulación: ∫_c->F_T^->dS^->= ∫_CF·u_TdS= ∫_cF·c^´dt

Flujo: ∫_cF_NdS= ∫_cF·u_NdS= ∫_cF·(y´,-x´)dt

c=(y´,-x´)

Vector unitario normal u_N=(y´,-x´)/√(x´²+ y´²) =(y´,-x´)/ ||c^->||

F_N= F^->·U_N^->=F·(y´,-x´)/ ||c^->||

F^->=F1i+F2j

Teorema de la divergencia en el plano:

• Circulación:∬_D( ∂F2/∂x- ∂F1/∂y)dxdy=∬_D( ∇ x F)kdxdy
• Flujo: ∫_c(F1y´-F2x´)dt= ∫_cF2dx+F1dy=

Funtzioa Polinomikoa: Adar Infinituak eta Asintotak

Funtzioa polinomikoa denez, definizio-eremua R da eta ez dauka asintotarik. Adar infinituak aztertuko ditugu:

Ardatzekiko Ebaki-Puntuak:

 Y → x = 0 → y = 0 → (0, 0) puntua.

· Puntu Nabarmenak:

· Definizio-eremua = R −{2}

· Ardatzekiko Ebaki-Puntuak:

· Asintota Bertikala: x = 2. Kurbaren Posizioa Asintotarekiko Aztertuko Dugu.

f(1,999) = -3.996 eta f(2,001) = -4.004 direnez, orduan:

· Asintota Zeiharra: 

Izan Ere, Zenbakitzailea -rekin Zatitzen Badugu, Zatidura Da Eta Hondarra 4.

· Puntu Nabarmenak:

Definizio-eremua = R −{−2, 2}

· Ardatzekiko Ebaki-Puntuak:

· Asintota Bertikalak: x = −2, x = 2. 

Kurbaren Posizioa Asintotekiko:

; ; ; .

Ondorioz,

Asintota Horizontala: y = 2

Kurbaren...

Sucesiones y patrones matemáticos: conceptos, tipos y ejemplos

¿Qué es una sucesión? Casilla / número

→ A cada casilla le corresponde un único número; un mismo número puede aparecer en más de una casilla.

Características

• Orden: los términos están dispuestos en una secuencia.
• Identificación de sucesores: existe una relación entre un término y el siguiente.
• Primer elemento: hay un primer término (importante para definir la sucesión).

Tipos de sucesiones

• Determinativas:
  • Condicional 0: procesos como recetas de cocina (si pasa esto → pasa esto). Son patrones claros.
  • Condicional 1: suposición y posible resultado; hay una hipótesis y una consecuencia posible.
• Aleatorias: ejemplos: el Kino, el bingo, donde el siguiente término no es determinístico.

Problemas de Distribución Normal

1. Rodamientos de precisión

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo, el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando esta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.

• a) En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con

Fundamentos del Ajuste de Observaciones

Respecto a los parámetros ajustados, estos son siempre correlacionados.

• Cálculo de error en resta: Se midió a=12; b=7; con errores da=5; db=2. El error de (a–b) es: 5.4.
• Tratamiento de errores: En el ajuste se tratan solo errores accidentales.
• Precisión vs. Exactitud: Están relacionadas respectivamente con errores aleatorios y sistemáticos.
• Grados de libertad: Se define como el número de mediciones en exceso.

Propagación de Errores y Cálculos

• Cálculo trigonométrico: Para X=D·sen(A); D=75m ±0.07 m, A=18g ±0.08g, el error de X es 0.091 m.
• Teoría de Mínimos Cuadrados: Postula que la sumatoria de los errores al cuadrado es mínima (tg[f(x)] = 0).
• Error de volumen: Para lados 2±0.10 x 3±0.15 x 4±0.

Funciones algebraicas racionales enteras

1. Grado 1: Función lineal (Recta)

Y = ax + b

• a (pendiente): inclinación de la recta con respecto al eje x.
• b (ordenada al origen): punto de corte con el eje y.
• Dominio (DM): R
• Imagen (IM): R

2. Grado 2: Función cuadrática

Representación: Y = Ax² + Bx + C (Parábola, sin tabla).

• Desplazamiento: Si a y b tienen igual signo, se desplaza a la izquierda; si tienen diferente signo, se desplaza a la derecha.
• Concavidad: Si a es positivo, abre hacia arriba (mínimo); si es negativo, abre hacia abajo (máximo).
• C: Punto de corte con el eje y (ordenada al origen).
• Raíces: Puntos de intersección de la gráfica con el eje x (f(x) = 0). Se calculan mediante la fórmula resolvente.
• Vértice: Xv = -b / (2a), Yv = f(Xv)

Preguntas sobre Correlación de Pearson

1. Cálculo del Coeficiente de Correlación Adecuado

   Señale, de forma fundamentada, qué coeficiente de correlación resulta adecuado calcular.

2. Supuestos para el Coeficiente de Pearson

   Mencione los supuestos que deben cumplirse para obtener dicho coeficiente.

3. Formulación de Hipótesis Estadísticas

   Formule las hipótesis estadísticas.

4. Cálculo e Interpretación del Coeficiente

   Calcule e interprete el resultado, considerando la dirección de la asociación y la variable que estaba siendo analizada.

5. Representación Gráfica: Gráfico de Dispersión

   Dibuje el gráfico de dispersión (o dispersiograma) que, aproximadamente, debería reflejar la relación entre las notas de los estudiantes.

6. Probabilidad Asociada (p-valor)

Funciones Polinómicas

Se llama polinomio de variable real x a la expresión de la forma:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Donde aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ ∈ ℝ y n ∈ ℕ.

Definición de Función Polinómica

Se llama función polinómica asociada al polinomio P(x) a toda función de la forma:

f: ℝ → ℝ / f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

• Coeficientes: aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀
• Exponentes: n, n-1, ..., 1, 0

Conceptos Fundamentales

• Grado de la función: Es el mayor exponente que aparece en la variable, tal que el coeficiente correspondiente sea distinto de 0.
• Valor numérico: El valor numérico de una función polinómica f para un valor a es la imagen f(a).
• Raíz de una función: