Fundamentos y Aplicaciones del Método de Mínimos Cuadrados en Topografía

Fundamentos del Ajuste de Observaciones

Respecto a los parámetros ajustados, estos son siempre correlacionados.

• Cálculo de error en resta: Se midió a=12; b=7; con errores da=5; db=2. El error de (a–b) es: 5.4.
• Tratamiento de errores: En el ajuste se tratan solo errores accidentales.
• Precisión vs. Exactitud: Están relacionadas respectivamente con errores aleatorios y sistemáticos.
• Grados de libertad: Se define como el número de mediciones en exceso.

Propagación de Errores y Cálculos

• Cálculo trigonométrico: Para X=D·sen(A); D=75m ±0.07 m, A=18g ±0.08g, el error de X es 0.091 m.
• Teoría de Mínimos Cuadrados: Postula que la sumatoria de los errores al cuadrado es mínima (tg[f(x)] = 0).
• Error de volumen: Para lados 2±0.10 x 3±0.15 x 4±0.18, el error es 2.01.
• Eficacia del método: El Método de Mínimos Cuadrados no mejora los errores de observación, sino que los distribuye de forma óptima.
• Cálculo de producto: Se midió f=8; g=8; df=0.5; dg=0.2. El error de (f·g) es: 4.3.

Álgebra Matricial en el Ajuste

• Matriz de pesos (P): Para 6 mediciones con igual error (ej. 0.23m), la matriz de pesos P es P = I (identidad).
• Inversa de una matriz: Una matriz B tiene inversa solo si es cuadrada y det(B) ≠ 0.
• Producto matricial: (V^TPV) es un escalar.
• Propagación en acimut: Para DX=D·sen(Az), el error propagado es: dDX = D·cos(Az)·dAz.

Conceptos de Valor Probable y Unidades

• Valor más probable: Es el valor más preciso.
• Conversión de unidades: 0,27 PPM corresponden a 0,41 mm en 1530 m.

Evaluación de Conceptos (Verdadero/Falso)

• Una matriz de coeficientes con N.º de líneas menor que el N.º de columnas representa un sistema con varias soluciones: F
• El Método de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de los errores al cuadrado: V
• En ajuste se tratan los errores sistemáticos: F
• Para DY=D·cos(Az), el error de acimut dAz propagado en DY es dDY = –sen(Az)·dAz: F
• La matriz B (indicada) tiene inversa: F
• Grados de libertad es el N.º de mediciones en exceso (sobreabundantes): V
• Realizadas 9 mediciones; 2s de la media es 2s=0.02 m; cada medición tendrá un error de 0.03 m: V
• B=b1–b2: db1 y db2 errores de b1 y b2; db1 > db2; el error resultante es : F
• Si _nA_u · _uX₁ = _nL₁, entonces X = A^-1 · L: F
• El Método de Mínimos Cuadrados mejora los errores de observación: F
• Los pesos son inversamente proporcionales a la desviación estándar: F
• En el método de Obs. Indirectas, el N.º de columnas de la matriz “A” es igual al N.º de parámetros: V
• En el método de Obs. Indirectas, si la función F(Xa) es lineal, el ajuste no es iterativo: V
• Si existe una función con condición de cierre, se puede usar el método de las Obs. Directas: V
• (N.º de obs – N.º de parámetros) es igual al N.º de grados de libertad: V
• El sigma a posteriori depende de la matriz de pesos: V