Clasificación y Propiedades de las Funciones Matemáticas: Algebraicas y Trascendentes

Funciones algebraicas racionales enteras

1. Grado 1: Función lineal (Recta)

Y = ax + b

• a (pendiente): inclinación de la recta con respecto al eje x.
• b (ordenada al origen): punto de corte con el eje y.
• Dominio (DM): R
• Imagen (IM): R

2. Grado 2: Función cuadrática

Representación: Y = Ax² + Bx + C (Parábola, sin tabla).

• Desplazamiento: Si a y b tienen igual signo, se desplaza a la izquierda; si tienen diferente signo, se desplaza a la derecha.
• Concavidad: Si a es positivo, abre hacia arriba (mínimo); si es negativo, abre hacia abajo (máximo).
• C: Punto de corte con el eje y (ordenada al origen).
• Raíces: Puntos de intersección de la gráfica con el eje x (f(x) = 0). Se calculan mediante la fórmula resolvente.
• Vértice: Xv = -b / (2a), Yv = f(Xv).
• Eje de simetría: Xv.

3. Grado 3

Representación con tabla (ejemplo: x³ - 1). DM: R, IM: R.

Funciones algebraicas racionales fraccionarias

Y = P(x) / Q(x)

• Se representa con tabla.
• DM: R - {valor que anula al polinomio}.
• Si el valor que anula al polinomio es positivo, en la gráfica se genera una asíntota; si es negativo, se genera una hipérbola. La curva nunca toca la asíntota.

Funciones algebraicas irracionales

y = raíz o exponente fraccionario de un polinomio

• Índice par: Existe condición (ejemplo: x > -1). DM: [-1, ∞), IM: [0, ∞).
• Índice impar: No hay condición. DM: R, IM: R.

Funciones trascendentes exponenciales

Y = k · Aˣ (Representación aproximada, sin tabla).

• K: Pertenece a R - {0}. Indica el punto de intersección con el eje y, pasando por el punto (0, K).
• A: Pertenece a R⁺ - {1} y a > 0.
• Gráfica: Curva (hipérbola) con asíntota al eje x.
• Comportamiento de A:
  • a ∈ ]0, 1[: La curva es asíntota al eje x y decreciente en valor absoluto.
  • a ∈ ]1, ∞[: Curva asíntota al eje x negativo y creciente en valor absoluto.
• A mayor valor de a, más cercana estará la curva al eje x y al eje y.
• DM: R, IM: R - {0} o (-∞, 0) (el signo de la imagen depende del signo de K).

Funciones trascendentes logarítmicas

(Propiedades inversas a la exponencial)

Y = logₐ x ⇔ x = aʸ (Definición de logaritmo).

• A: Pertenece a R⁺ - {1}.
• Puntos clave: Pasa por el punto (1, 0) o corta al eje x en 1.
• Gráfica: Curva (hipérbola) con asíntota al eje y.
• Comportamiento de A:
  • a ∈ ]0, 1[: Asíntota al eje y+ y decreciente.
  • a ∈ ]1, ∞[: Asíntota al eje y- y creciente.
• DM: ]0, ∞[ = R⁺, IM: R.