Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Operaciones con Polinomios

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se agrupan los términos semejantes y se operan sus coeficientes. Es fundamental prestar atención a los signos.

Multiplicación de Polinomios

Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio ("todos por todos"). Luego, se suman los términos semejantes.

División de Polinomios

La división de polinomios sigue un algoritmo similar a la división numérica. Existe la división tradicional y la regla de Ruffini.

División de Ruffini

La división de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio por un binomio de la forma (... Continuar leyendo "Operaciones con Polinomios y Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones" »

Exploración Detallada de las Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas $\sinh$, $\cosh$ y $\tanh$

Curvas de las funciones hiperbólicas $\mathrm{csch}$, $\mathrm{sech}$ y $\mathrm{coth}$

Definiciones Fundamentales

El seno hiperbólico:

El coseno hiperbólico:

La tangente hiperbólica:

Y otras funciones recíprocas:

(cotangente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

Sistema financer

Sistema financer. Conjunt d'institucions, mercats i instruments que permeten canalitzar els estalvis cap a la inversió, consistent en contactar i coordinar aquells que ofereixen finançament amb aquells que en demanden.

Intermediaris financers

Intermediaris financers. Institució que capta diners que estalvien les famílies per prestar-los a qui els necessita.

Entitats bancàries

Bancàries. Constituïdes per:

• Bancs (empreses privades que obtenen beneficis per als seus propietaris)
• Caixes d'estalvis (entitats sense ànim de lucre que donen beneficis a obres benèfico-socials)
• Cooperatives de crèdit (pertanyen als seus socis dipositants que es beneficien dels seus serveis)

que es diferencien en la seva forma jurídica.

Entitats no bancàries

No

Proporcionalidad de Cantidades

Dos cantidades X e Y son proporcionales si su relación es constante: y / x = m (o también y = mx). En este caso, el número m se llama la constante de proporcionalidad.

La gráfica de la función que relaciona dos cantidades proporcionales es siempre una línea recta que pasa por el origen (la recta y = mx).

Semejanza de Figuras

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque difieran en tamaño. Hay dos condiciones que deben cumplir las figuras para ser semejantes:

• Los segmentos involucrados son proporcionales, es decir, la longitud de cada uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra figura por un factor fijo (doble, triple, etc.). Este factor es la razón de semejanza.

Leyes de los Exponentes

Las leyes de los exponentes, también llamadas potencias o índices, se derivan de tres ideas fundamentales:

• Primera: El exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
• Segunda: Lo contrario de multiplicar es dividir, por lo que un exponente negativo significa dividir.
• Tercera: Un exponente fraccionario como 1/n representa la raíz enésima: $x^{1/n} = \sqrt[n]{x^1}$. Por ejemplo: $5^{3/5} = \sqrt[5]{5^3}$.

Leyes principales

• Primera ley: Cualquier base elevada a la 1 es igual a sí misma. Ej: $3^1 = 3$.
• Segunda ley: Cualquier base elevada a la cero resulta en uno. Ej: $1^0 = 1$.
• Tercera ley: Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a uno entre la base elevada a la potencia

Orientación Instrumental en Fotogrametría

La orientación instrumental consiste en conseguir la reproducción de la posición exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea igual a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. Esta operación está compuesta por la orientación interna y la orientación externa.

Orientación Interna

Es la reconstrucción de los haces perspectivos que originaron cada imagen.

Orientación Externa

A través de ella se consigue que todos los haces perspectivos, formados en las dos proyecciones continuas mediante la orientación interna, coincidan en el espacio y tengan correspondencia unívoca con respecto al terreno; es decir, idéntica posición a la que... Continuar leyendo "Fundamentos de la Orientación Instrumental en Fotogrametría" »

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax² + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0.

• Si b y c son números distintos de cero, se dice que la ecuación es completa.
• Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta.

Discriminante

El discriminante de una ecuación de segundo grado es: Δ = b² - 4ac.

• Δ > 0: tiene dos soluciones.
• Δ = 0: tiene una solución.
• Δ < 0: no tiene soluciones reales.

Ecuaciones Bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, con a, b y c números reales y a ≠ 0.

Ecuaciones con Fracciones Algebraicas

Para resolverlas, eliminamos denominadores multiplicando... Continuar leyendo "Fundamentos y Métodos de Resolución de Ecuaciones y Sistemas" »

Concepto de Función Matemática

Unha función é unha relación entre dúas magnitudes, de tal maneira que a cada valor da primeira asígnalle un único valor da segunda. Se A e B son dous conxuntos, que chamaremos conxunto inicial e conxunto final, unha función f de A en B, que se expresa f: A → B, relaciona cada elemento de A cun único elemento de B. Se a ∈ A está relacionado con b ∈ B, escríbese f(a) = b e dise que b é a imaxe de a e que a é a antiimaxe de b.

Dominio e Percorrido dunha Función

• Dominio (Dom(f)): É o conxunto formado polos elementos de A que teñen imaxe: Dom(f) = {x ∈ A / f(x) ∈ B}. Un elemento calquera do dominio, "x", denomínase variable independente.
• Percorrido ou Imaxe (Im(f)): É o conxunto formado polas

Un caso particular son as funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, cuxa gráfica son hipérbolas equiláteras.

Funcións Irracionais

y = f(x) = n√g(x)

• Dominio:
  • Dom(f) = R no caso de que n sexa impar.
  • Dom(f) = R - {x / g(x) < 0} no caso de que n sexa par.

Función Exponencial

y = f(x) = ax, onde a é positivo e distinto de 1.

• Dominio: Dom(f) = R
• Imaxe: Im(f) = R⁺
• Se a > 1, a función crece a medida que aumenta x.
• Se a < 1, a función decrece a medida que aumenta x.

Función Logarítmica

y = f(x) = loga x, onde a é positivo e a ≠ 1.

• Dominio: Dom(f) = (0, +∞) (o logaritmo dos números negativos e do 0 non son números reais).
• Imaxe: Im(f) = R
• Se a > 1, é crecente.
• Se a < 1, é decrecente.
• Corta o eixe OX no punto (1,0).
• A función

Conceptos Fundamentales de la Derivada

Dada una función f: R -> R, la noción de derivada de f en un punto t tiene dos modos básicos de ser entendida.

1. La derivada como velocidad

En física se considera, con frecuencia, algo que se mueve recorriendo un espacio e en un tiempo t. A cada instante de tiempo t corresponde un espacio recorrido e, lo que define e como una función de t, e = f(t).

El primer concepto de velocidad aparece como el cociente del espacio por el tiempo, es la llamada velocidad media. Si consideramos la velocidad media del trayecto entre los tiempos t1 y t2 > t1, esta será:

Velocidad media (entre t1 y t2) = (f(t2) - f(t1)) / (t2 - t1)

Cuando f es una función lineal f(t) = mt + b, el cociente es independiente de los tiempos... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de la Derivada: Velocidad y Pendiente" »