Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Anàlisi de la Funció F(x) = (x²+x)²

A) Domini i Punts de Tall

El domini de la funció F(x) = (x²+x)² és tot el conjunt dels nombres reals (Dom = R), ja que és una funció polinòmica.

Punts de Tall

• Amb l'eix de les x (y=0):

0 = x⁴ + 2x³ + x²

0 = x²(x² + 2x + 1)

0 = x²(x + 1)²

Les solucions són x = 0 i x = -1.

Per tant, els punts de tall amb l'eix de les x són (-1, 0) i (0, 0).

F(0) = (0² + 0)² = 0

El punt de tall amb l'eix de les y és (0, 0).

B) Asimptotes

Com que la funció és polinòmica, no té asimptotes.

C) Derivada i Punts Crítics

La funció és F(x) = x⁴ + 2x³ + x².

La seva primera derivada és F'(x) = 4x³ + 6x² + 2x.

Per trobar els punts crítics, igualem la derivada a zero:

F'(x) = 0 → 4x³... Continuar leyendo "Anàlisi de Funcions Matemàtiques: Domini, Punts de Tall, Derivades i Continuïtat" »

Dominio de una Función

Punto de Acumulación

Un punto x = a es un punto de acumulación del dominio de una función si todo entorno de centro a contiene elementos del dominio de la función, distintos de a. No es necesario que a pertenezca al dominio de la función.

Punto Aislado

Un punto x = a es un punto aislado del dominio de una función si existe algún entorno de centro a en el cual el único punto del dominio de la función es a.

Continuidad de una Función

Continuidad en un Punto de Acumulación

Si f es una función, a pertenece al dominio de f y a es un punto de acumulación del dominio de f: f es continua en x = a si: . Una función no es continua en un punto de acumulación de su dominio si no está definida en el punto, no existe el... Continuar leyendo "Dominios, Derivadas e Integrales de Funciones" »

Estadística

Estadística: Es la rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar y procesar datos con el fin de inferir las características de la población objetivo.

Tipos de estadística

Descriptiva: Es la técnica que se encarga de la recopilación, presentación, tratamiento y análisis de los datos, con el objeto de resumirlos, por lo general en gráficas y tablas.

Inferencia: Saca conclusiones o generalizaciones acerca de parámetros de una población basándose en el estadígrafo o estadígrafos de una muestra de población.

Universo y variable

Universo: Conjunto finito o infinito de todos los posibles individuos que cumplen ciertas propiedades.

Variable: Una característica que asume valores; es el objetivo de estudio.

Tipos

Solucionari (Lozano / Nunes)

Opció A: Text de Josep Lozano, Crim de germania, València, Tres i Quatre, 1981, p. 188-189.

Tema:

La necessitat s’imposa per damunt de la por i de les normes/ La crueltat/ La repressió/ La pobresa i la necessitat de robar/ La intolerància religiosa

Parts bàsiques del text:

• Primera part: marc general de l’acció
• Segona part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions negatives)
• Tercera part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions positives)
• Quarta part: desenllaç de la narració

Cinc exemples de recursos expressius de caràcter literari presents al text:

Text literari, fonamentalment narratiu i descriptiu. Presenta l’estructura de plantejament, nuc i desenllaç de l’acció. S’organitza... Continuar leyendo "Anàlisi literària: Crim de germania" »

Propiedades y Significados de Medidas de Tendencia Central

1. Propiedades de la Media Aritmética

• Intervienen todos los valores del conjunto de datos.
• Es un número comprendido entre el máximo y el mínimo de los datos.
• Puede tener un valor distinto a los valores de la variable.
• Es sensible a los valores atípicos (outliers).
• Es sensible al cambio de origen: si se suma o resta una constante a todos los valores, la media también se suma o resta esa constante.
• Es sensible al cambio de escala: si se multiplican o dividen todos los valores por una constante, la media también se multiplica o divide por esa constante.
• La suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es igual a 0.
• Hay que tener en cuenta los valores nulos en su cálculo.
• La media

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave

• Experimento: Se clasifica en:
  • Determinista: Su resultado se conoce de antemano.
  • Aleatorio: Su resultado no se puede predecir antes de realizarlo.
• Suceso elemental: Cada uno de los posibles resultados individuales de un experimento.

  Ejemplos: (cara) o (sello) al lanzar una moneda; (1), (2), (3), etc., al lanzar un dado.

• Espacio muestral (E): Conjunto formado por todos los sucesos elementales posibles.
  • Ejemplo Moneda: E = {cara, sello}
  • Ejemplo Dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso compuesto (o aleatorio): Cualquier subconjunto del espacio muestral.
  • Ejemplo (Dado): Que salga impar: A = {1, 3, 5}
  • Ejemplo (Dado): Que salga número > 3: B = {4, 5, 6}

La Probabilidad

La Probabilidad es un número entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Tipos de Sucesos" »

Physis: L'Essència del Devenir

Ens podem referir a Physis com allò no òntic que està darrere del naixement dels ens i de la seva evolució; és a dir, allò que hi ha al darrere i que s'està produint.

Logos: L'Ordre i la Regulació de la Presència

Logos: Substantiu que prové del verb que significa "ajustar" o "seleccionar". És allò no òntic implicat en la presència de les coses i que determina si són presents i com ho són; és a dir, allò que està darrere les coses regulant el que es fa present i el que deixa de fer-se.

Aletheia: El Desvetllament de la Veritat

Aletheia: Substantiu format per un prefix negatiu i la paraula "oblit", "enigma", "foscor". El significat general és "trencar l'oblit", "desfer l'enigma", "fer-se present".... Continuar leyendo "Conceptes Filosòfics i Estratègies de Màrqueting: Una Anàlisi" »

Anàlisi DAFO de la PIME

Debilitats i amenaces

• Acceso escàs a recursos financers i finançament.
• Pocs recursos per a la inversió inicial.
• Poder de negociació limitat amb clients i proveïdors.
• Nivell de qualificació i competències tècniques baix del personal.
• Mitjans limitats i impossibilitat d'utilitzar grans mitjans de publicitat.

Estratègia de desenvolupament internacional de la PIME

1. Estratègia d'exportació

Buscar sortides de productes a través de l'exportació, amb ajudes de l'empresa a l'hora de rebre o de mediar en el país receptor.

2. Sistemes d'associació

Acords de cooperació, franquícies, etc., per a la producció conjunta o la venda en altres països.

3. Inversió directa a l'exterior

Vies per conèixer el territori i establir-... Continuar leyendo "Zona Especial Canària (ZEC): règim fiscal, requisits i avantatges per a empreses" »

Equacions de la recta en el pla

Per a un punt P(x₀, y₀) i un punt qualsevol de la recta, definim el vector director de la recta com v = (vₓ, vᵧ), el qual és paral·lel a la mateixa. Les formes d'expressar la recta són:

• Equació vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + k(vₓ, vᵧ)
• Equacions paramètriques: x = x₀ + k · vₓ; y = y₀ + k · vᵧ
• Equació contínua: (x - x₀) / vₓ = (y - y₀) / vᵧ
• Equació general o implícita: Ax + By + C = 0
• Equació explícita: y = mx + n (on m és el pendent i n l'ordenada a l'origen)
• Equació canònica: x/p + y/n = 1

Posicions relatives entre dues rectes

Donades dues rectes expressades com Ax + By + C = 0 i ax + by + c = 0:

• Rectes incidents: Si A/a ≠ B/b, les rectes es tallen en un punt.
• Rectes paral·leles:

Leyes de Mendel

Mendel comenzó con la obtención de dos razas puras de plantas que diferían en un carácter. Realizó autofecundación durante varias generaciones seguidas que le permitieran asegurarse la pureza de las líneas. Después de varias generaciones produciendo una descendencia totalmente homogénea, los consideró razas o líneas puras y aptas para la posterior experimentación.

Las razas puras o homocigotos para un carácter son individuos que poseen la misma información genética, para ese carácter, en las dos copias del cromosoma portador del responsable de dicho carácter.

1.1. Primera ley: Ley de la uniformidad de la F1

La generación inicial, en la que se cruzaban los dos ejemplares de línea pura, se denominó generación... Continuar leyendo "Principios Básicos de la Genética Mendeliana" »