Conceptos Fundamentales de la Derivada: Velocidad y Pendiente

Conceptos Fundamentales de la Derivada

Dada una función f: R -> R, la noción de derivada de f en un punto t tiene dos modos básicos de ser entendida.

1. La derivada como velocidad

En física se considera, con frecuencia, algo que se mueve recorriendo un espacio e en un tiempo t. A cada instante de tiempo t corresponde un espacio recorrido e, lo que define e como una función de t, e = f(t).

El primer concepto de velocidad aparece como el cociente del espacio por el tiempo, es la llamada velocidad media. Si consideramos la velocidad media del trayecto entre los tiempos t1 y t2 > t1, esta será:

Velocidad media (entre t1 y t2) = (f(t2) - f(t1)) / (t2 - t1)

Cuando f es una función lineal f(t) = mt + b, el cociente es independiente de los tiempos t1 y t2 elegidos, y coincide con la pendiente m de la gráfica de f.

Velocidad instantánea

Para funciones más generales que las lineales, consideramos la velocidad instantánea en un instante t0 como el límite (si existe) de velocidades medias entre instantes t0 y t0 + Δt muy próximos a t0. Esta proximidad cada vez mayor se expresa haciendo tender Δt a 0. De modo que:

Velocidad instantánea (en t0) = (f(t0 + Δt) - f(t0)) / Δt

Esta es precisamente la definición que daremos de derivada de una función. Si el límite anterior (la derivada de f en t0) existe, se dice que la función f es derivable en t0; si no existe, se dice que no es derivable. De las definiciones de derivada y de continuidad se deduce que: una función derivable en t0 es continua en t0.

2. La derivada como la pendiente de la gráfica de la función

Para hallar la pendiente de una curva en algún punto, hacemos uso de la recta tangente a la curva en dicho punto. La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.

En (x, f(x)), la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x, f(x)) y queda determinada por la fórmula:

supuesto que el límite exista.

Por otro lado, la recta tangente a la función f en el punto x se define como el límite de las rectas que pasan por (x, f(x)) y (x + Δx, f(x + Δx)) cuando Δx → 0. Para obtener la ecuación de la recta tangente, tomamos límites cuando Δx → 0 y obtenemos y = f'(x)x + (f(x) - f'(x)x); ecuación que muestra que f'(x) es la pendiente de la recta tangente a f (a la gráfica de f) en x.