Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

• Anatomía Dental

  Incisivos Centrales Superiores (ICS)

  Erupcionan a los 7 años. Ocluyen con los incisivos centrales inferiores y la mitad mesial de los incisivos laterales inferiores. VESTIBULAR: forma de pala, superficie convexa con dos bordes. Corona más larga inciso-cervical que mesio-distal. Más estrecha en el tercio cervical y ancha en el incisal. Más convexa distal y recta mesial. Línea cervical convexa en sentido apical. INCISAL: ancho y mayor diámetro mesio-distal de todos los incisivos. Ángulo mesial recto y distal redondeado. Tres mamelones que desaparecen con el tiempo. PALATINA: forma triangular, superficie cóncava delimitada por dos rebordes marginales que dan lugar al cíngulo, donde puede formarse el agujero ciego (punto

Estudio de Funciones y Derivadas

• Máximos o mínimos: f'(x) = 0
• Puntos de inflexión (concavidad o convexidad): f''(x) = 0

Cálculo de Asíntotas

• Asíntota Vertical (A.V.): lim f(x) (x → excepción al dominio) = ∞. (Siempre realizar límites laterales si existen).
• Asíntota Horizontal (A.H.): lim f(x) (x → ±∞) = número.
• Asíntota Oblicua (A.O.):
  • lim f(x) (x → ∞) / x = m (en cruz).
  • lim f(x) (x → ∞) [f(x) - m · x] = n.
• Grado del numerador mayor que el denominador: El límite tiende a ∞.

Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente es: y - y₀ = m · (x - x₀)

Demostración de Intersección entre Funciones

Si se pide demostrar que f(x) y g(x) se cortan en un punto: se igualan, se pasa todo a un lado y se iguala a 0. Se busca un intervalo... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Cálculo Diferencial: Derivadas, Teoremas y Asíntotas" »

Resumen de Conceptos Fundamentales de Matrices

Definición y Estructura de Matrices

Las matrices son distribuciones rectangulares de números o funciones. Se denotan con letras mayúsculas y se componen de:

• Filas: Disposición horizontal.
• Columnas: Disposición vertical.

Tipos de Matrices según su Dimensión

Matriz Cuadrada

Tiene igual número de filas y de columnas (M = N).

Matriz Rectangular

Posee diferente número de filas y de columnas. Se clasifica en:

• Vertical: Si M > N (más filas que columnas).
• Horizontal: Si M < N (más columnas que filas).

Vector Fila o Vector Columna

Es una matriz que tiene una sola fila o una sola columna, respectivamente.

Elementos y Notación Matricial

El elemento es cada uno de los números o funciones que componen la... Continuar leyendo "Fundamentos de Matrices y Álgebra Lineal: Conceptos, Tipos y Operaciones Esenciales" »

Introducció a Excel i el full de càlcul

Excel és un gestor de fulls de càlcul. Un document inicial d'Excel és una llibreta de càlcul: tenim tres fulls de càlcul actius. Un full de càlcul consta de 65.536 files x 256 columnes. El contingut d'una cel·la pot ser text, dates i hores, nombres en diferents formats, fórmules i funcions.

El desplaçament dins el full de càlcul es pot realitzar des del teclat: fletxes, AvPàg, RePàg, Ctrl+Inici, Ctrl+Fi, Fi+fletxa. L'accés al menú Format/Cel·les ens permet accedir a la majoria de les modificacions que voldrem efectuar sobre les cel·les.

Tipus de dades i formats

Text: qualsevol entrada que Excel no reconeix com a nombre o fórmula. Si barregem text amb nombres, la cel·la adoptarà el format... Continuar leyendo "Guia bàsica d'Excel: Funcions, Formats i Errors" »

Equilibri del mercat

Qs=Qd. En aquesta empresa el preu d'equilibri és de x€, això vol dir que en aquest punt coincideixen la quantitat demandada i la quantitat ofertada.

Maximització de beneficis

CMg=IMg (P). La quantitat amb la qual l'empresa obtindrà els màxims beneficis serà produint x u.

Quins beneficis

BT=IT(P·Q)-CT(CF+CV). (+)En aquest punt l'empresa obtindrà un benefici de x€. (-)En aquest punt l'empresa farà fallida ja que el resultat obtingut és negatiu.

Representa punt equilibri

dos taules de valors amb el preu i dos valors.

Representa maximització beneficis

IMg(P) constant.

Representa maximització beneficis

CMg: Fórmula vèrtex= -b entre 2·a --- el resultat el substitueixes per la Q de la funció de CMg, (vertex, resultat... Continuar leyendo "Anàlisi de mercat i beneficis en l'empresa" »

Si a és un nombre real,

+ a = ∞

· a = ∞

+ ∞ = ∞

· ∞ = ∞

elevat a +∞ = a elevat a +∞ = 0 (-1 < a < 1). a elevat a menys ∞ = 1/a elevat a +∞

Tipus d'indeterminació.

Anaximandre de Milet

Discipul directe de Tales, Anaximandre va tenir una vista global de la seva temàtica. El món està construït segons proporcions matemàtiques i l'univers té forma esférica. El centre és la Terra i els planetes giren al voltant d'ella. Intentava donar solucions a través de la natura i les observacions. La seva única obra coneguda es deia "Sobre la naturalesa".

La seva concepció de l'arkhé

Per Anaximandre, l'arkhé que governa tot l'anomena APEIRON. L'APEIRON és allò il·limitat que no té límits tant interiors com exteriors.

Conflictes i oposicions

Al món, les coses apareixen alimentades per conflictes contraris. No té ni principi ni final. Aquest món està format per aquests contraris i conflictes, com el FRIÓ... Continuar leyendo "Anaximandre de Milet: Filòsof i la seva Visió de l'Univers" »

Components d’una Unitat Didàctica

1. Introducció: Presentació del contingut principal de la Unitat Didàctica (UD), motivació i curs al que va dirigit.
2. Graella de cada racó amb: Descripció del racó, continguts matemàtics, objectius d’aprenentatge i criteris d’avaluació, organització social, temporització, materials i recursos de cada racó.
3. Avaluació i instruments d’avaluació.
4. Atenció a la diversitat.

*Els punts 3 i 4 es poden incloure a la descripció de cada sessió.

Proporcionalitat i Semblança

Semblança de Polígons

Dues figures poligonals són semblants quan tenen tots els costats homòlegs proporcionals i tots els angles homòlegs són iguals. La raó de semblança (K) és el nombre pel qual multipliquem tots els costats... Continuar leyendo "Guia Didàctica: Fraccions i Proporcionalitat" »

Método del paralelogramo

• a) Se traza una línea horizontal y se dibujan los vectores partiendo del mismo punto, eligiendo una escala apropiada.
• b) Se traza en la punta de cada vector una línea paralela al otro vector, formando un paralelogramo.
• c) Se une el origen de los vectores con el cruce de las líneas paralelas; esta línea es el vector suma o vector resultante.
• d) Según la escala de la magnitud, se mide con el transportador.

Es un espejo.

Método del polígono

• a) Se trazan todos los vectores que se van a sumar partiendo de un mismo punto con escalas adecuadas.
• b) En la punta de cada uno de los vectores, elegido arbitrariamente, se traza cualquiera de los otros y así sucesivamente en un patrón donde acabas, inicias el que sigue.
• c) Se traza

Vectores en R³

Un vector en R³ es un conjunto ordenado de tres números reales, denotado de la siguiente manera: v = (x, y, z).

Componentes de un Vector

Para hallar los componentes de un vector en R³, se deben restar las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un Vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

Cálculo de los Cosenos Directores y Vectores Ortogonales

Cosenos Directores

Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ángulos que forma dicho vector con los ejes coordenados positivos.

Vectores Ortogonales

Dos o más vectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero.

Ángulo entre los Vectores

Operaciones con Matrices

Matrices: Son números... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Vectores en R³ y Matrices" »